Два лодочника должны переплыть реку из пункта А в пункт В . Один из них направляет лодку по прямой АВ и , достигнув противоположного берега , оказывается в пункте С . Для того чтобы попасть в пункт В , он движется против течения вдоль берега от пункта С к пункту В . Второй лодочник направляет лодку так , что , достигнув противоположного берега , сразу оказывается в пункте В . Какой из них попал в пункт В быстрее и во сколько раз , если скорость лодки отностиельно воды в обоих случаях одинакова и равка 2,0 м\с , а скорость течения воды 1,2 м\с ? Скорость течения воды у берегов на середине реки считать одинаковой

Для решения этой задачи нужно понять, как течение реки влияет на скорость лодочников и их время пересечения реки.

Дано:

1. Скорость лодки относительно воды $v_{\text{лодки}} = 2,0 \, \text{м/с}$.
2. Скорость течения реки $v_{\text{течения}} = 1,2 \, \text{м/с}$.

Решение

Первый лодочник

Первый лодочник направляет лодку по прямой линии из точки $A$ в направлении $B$. Но из-за течения он попадает в точку $C$, а затем, двигаясь вдоль берега, идет из точки $C$ в точку $B$.

1. Определим направление движения первого лодочника. Лодочник направляет лодку строго по прямой линии к противоположному берегу. Это означает, что он движется под углом к течению реки, и течение уводит его вниз по течению.

2. Рассчитаем скорость первого лодочника относительно берега в поперечном направлении реки. В поперечном направлении его скорость будет равна собственной скорости лодки относительно воды, то есть $v_{\text{поперечная}} = 2,0 \, \text{м/с}$, так как он плывет перпендикулярно течению.

3. Найдем время для пересечения реки. Пусть ширина реки $d$. Время пересечения реки $t_1$ определяется по формуле:

   $$t_1 = \frac{d}{v_{\text{поперечная}}} = \frac{d}{2,0}$$

4. Определим, куда он попадет на противоположном берегу. Так как течение реки уводит его, он окажется на расстоянии от пункта $B$. Это расстояние $d_{\text{снос}}$ можно найти, умножив скорость течения на время, которое он затрачивает на пересечение реки:

   $$d_{\text{снос}} = v_{\text{течения}} \cdot t_1 = 1,2 \cdot \frac{d}{2,0} = 0,6d$$

   Это означает, что лодочник окажется в точке $C$, которая находится на расстоянии $0,6d$ вниз по течению от пункта $B$.

5. Время движения от точки $C$ до точки $B$. Теперь лодочник должен пройти расстояние $0,6d$ вдоль берега против течения. Его скорость относительно берега в этом направлении будет равна $v_{\text{лодки}} - v_{\text{течения}} = 2,0 - 1,2 = 0,8 \, \text{м/с}$.

   Тогда время, которое он затратит на путь от $C$ до $B$, составит:

   $$t_{\text{дополнительное}} = \frac{0,6d}{0,8} = 0,75d$$

6. Полное время первого лодочника. Полное время, которое потребуется первому лодочнику, чтобы попасть в точку $B$, будет суммой времени пересечения реки и времени дополнительного пути вдоль берега:

   $$T_1 = t_1 + t_{\text{дополнительное}} = \frac{d}{2} + 0,75d = 1,25d$$

Второй лодочник

Второй лодочник направляет лодку таким образом, что сразу достигает точки $B$ на противоположном берегу.

1. Определим угол направления лодки. Чтобы достичь точки $B$ прямо, второй лодочник должен направлять лодку под углом против течения, компенсируя его. Это называется "движением наискосок" или "с учётом сноса".

2. Рассчитаем поперечную составляющую скорости второго лодочника. При движении под углом результирующая скорость лодочника относительно берега будет направлена по прямой линии $AB$. Чтобы компенсировать течение, лодочник направляет свою лодку под таким углом $\theta$, что поперечная составляющая его скорости равна скорости течения. Из условия у нас:

   $$v_{\text{лодки}} \cdot \sin \theta = v_{\text{течения}}$$ $$\sin \theta = \frac{1,2}{2,0} = 0,6$$

   Таким образом, $\theta = \arcsin(0,6) \approx 36,87^\circ$.

3. Рассчитаем скорость второго лодочника в направлении $AB$. Скорость второго лодочника в направлении $AB$ будет равна:

   $$v_{\text{AB}} = v_{\text{лодки}} \cdot \cos \theta = 2,0 \cdot \cos 36,87^\circ \approx 1,6 \, \text{м/с}$$

4. Найдем время пересечения реки вторым лодочником. Время, которое затрачивает второй лодочник, чтобы попасть из $A$ в $B$:

   $$T_2 = \frac{d}{v_{\text{AB}}} = \frac{d}{1,6} = 0,625d$$

Сравнение времени

Теперь можно сравнить время, затраченное каждым лодочником:

• Первый лодочник затратил $T_1 = 1,25d$.
• Второй лодочник затратил $T_2 = 0,625d$.

Очевидно, что второй лодочник прибыл в точку $B$