Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от берега, достигая своего максимального значения V0=5 м/с на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. Лодка движется по реке так, что ее скорость относительно воды постоянна, равна по модулю u=10 м/с. и направлена перпендикулярно течению. Найдите расстояние, на которое будет снесена лодка при переправ, если ширина реки d= 100 м. Определите траекторию лодки.

Давайте разберем задачу пошагово:

Дано:

1. Максимальная скорость течения реки $V_0 = 5 \, \text{м/с}$ достигается на середине реки.
2. У берегов скорость течения равна $V = 0$.
3. Скорость лодки относительно воды постоянна: $u = 10 \, \text{м/с}$.
4. Направление движения лодки относительно воды — перпендикулярно берегам.
5. Ширина реки $d = 100 \, \text{м}$.

Нужно:

1. Найти расстояние, на которое будет снесена лодка (смещение вдоль течения).
2. Определить траекторию движения лодки.

Решение:

1. Определение скорости течения

Скорость течения возрастает линейно от берега к середине, а затем уменьшается обратно. Формула скорости течения $V(y)$ вдоль перпендикуляра к берегу (ось $y$) для половины реки:

где $y$ — расстояние от берега в метрах (от 0 до 50 м).

Для второй половины реки ($y \in [50, 100]$):

2. Время переправы

Лодка движется с постоянной скоростью $u = 10 \, \text{м/с}$ относительно воды, строго перпендикулярно берегу. Поскольку ширина реки $d = 100 \, \text{м}$, время переправы:

3. Смещение лодки

Смещение лодки вдоль течения (вдоль оси $x$) определяется интегрированием скорости течения $V(y)$ по времени. Однако $y$ зависит от времени, так как лодка движется вдоль оси $y$ с постоянной скоростью $u$. Положение лодки вдоль $y$ в момент времени $t$:

В первой половине реки ($y \in [0, 50]$):

где $t_1 = \frac{50}{10} = 5 \, \text{с}$.

Рассчитаем интеграл:

Для второй половины реки ($y \in [50, 100]$):

где $t_2 = 10 \, \text{с}$.

Рассчитаем интеграл:

Подставим пределы:

Общее смещение:

4. Траектория движения

Траектория лодки описывается системой: