Точка движется в плоскости XOY. Вектор модуль которого равен 2 м, направлен под углом 135° к оси X. Чему равны проекции вектора на оси X и У?
Покажите как решать такие задачи

Чтобы найти проекции вектора на оси $X$ и $Y$, мы будем использовать основы тригонометрии и понятие проекции вектора на координатные оси.

Условие задачи:

1. Вектор имеет модуль $|\mathbf{v}| = 2 \, \text{м}$.
2. Угол, под которым вектор направлен к оси $X$, равен $135^\circ$.

Наша цель — найти:

• $v_x$: проекцию вектора на ось $X$;
• $v_y$: проекцию вектора на ось $Y$.

Шаги решения:

1. Формулы для проекций вектора на оси: Проекции вектора на оси вычисляются по формулам:

   $$v_x = |\mathbf{v}| \cdot \cos\theta,$$ $$v_y = |\mathbf{v}| \cdot \sin\theta,$$

   где:

   • $|\mathbf{v}|$ — модуль вектора,
   • $\theta$ — угол между вектором и положительным направлением оси $X$.

2. Подстановка значений: В нашем случае:

   • $|\mathbf{v}| = 2 \, \text{м}$,
   • $\theta = 135^\circ$.

   Вспомним тригонометрические значения:

   $$\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

3. Вычисление проекции на ось $X$:

   $$v_x = 2 \cdot \cos(135^\circ) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}.$$

4. Вычисление проекции на ось $Y$:

   $$v_y = 2 \cdot \sin(135^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.$$

Ответ:

• Проекция вектора на ось $X$: $v_x = -\sqrt{2} \, \text{м}$.
• Проекция вектора на ось $Y$: $v_y = \sqrt{2} \, \text{м}$.

Как решать подобные задачи:

1. Найти модуль вектора $|\mathbf{v}|$ и угол $\theta$.
2. Использовать тригонометрические функции $\cos\theta$ и $\sin\theta$ для нахождения проекций.
3. Аккуратно подставлять значения, учитывая знаки тригонометрических функций в разных квадрантах:
   • В первом квадранте ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) и $\cos\theta > 0, \sin\theta > 0$,
   • Во втором квадранте ($90^\circ < \theta < 180^\circ$) $\cos\theta < 0, \sin\theta > 0$, как в нашей задаче.
4. Упростить результат, если это возможно.

Векторный анализ становится проще, если вы хорошо знаете тригонометрические функции и их свойства.