Число 84 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма квадратов слагаемых была наименьшее

Для того чтобы представить число 84 в виде суммы двух положительных чисел $a$ и $b$ так, чтобы сумма квадратов этих чисел $a^2 + b^2$ была наименьшей, нужно воспользоваться некоторыми свойствами квадратов и арифметическим подходом.

Шаги решения:

1. Пусть $a$ и $b$ — два числа, сумма которых равна 84:

   $$a + b = 84$$

   Поскольку нам нужно минимизировать сумму квадратов, выразим $b$ через $a$:

   $$b = 84 - a$$

2. Сформулируем функцию, которую нужно минимизировать: Мы хотим минимизировать сумму квадратов $a^2 + b^2$:

   $$S(a) = a^2 + (84 - a)^2$$

3. Раскроем квадрат и упростим выражение:

   $$S(a) = a^2 + (84 - a)^2 = a^2 + 84^2 - 2 \cdot 84 \cdot a + a^2$$ $$S(a) = 2a^2 - 168a + 84^2$$

   Здесь $84^2$ — это константа, и она не влияет на минимум функции, поэтому мы можем сосредоточиться на квадратичной части.

4. Найдём минимум квадратичной функции: В выражении $2a^2 - 168a + 84^2$, коэффициент перед $a^2$ положителен (2), поэтому парабола направлена вверх и имеет минимум. Вершина параболы находится в точке:

   $$a = \frac{-(-168)}{2 \cdot 2} = \frac{168}{4} = 42$$

   Таким образом, для минимизации суммы квадратов $a$ должно быть равно 42.

5. Найдём значение $b$: Поскольку $b = 84 - a$, то при $a = 42$:

   $$b = 84 - 42 = 42$$

6. Проверка: Теперь проверим, чему будет равна сумма квадратов:

   $$S = 42^2 + 42^2 = 2 \cdot 42^2 = 2 \cdot 1764 = 3528$$

   Это действительно минимальная сумма квадратов для данных условий.

Ответ:

Число 84 следует представить в виде суммы двух чисел 42 и 42, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.