Петя задумал натуральное число и выписал на доску суммы каждой пары его цифр. После этого он стёр некоторые суммы, и на доске остались числа 1,1,1,2. Какое наименьшее число мог задумать Петя?

Для решения этой задачи нам нужно учитывать несколько важных моментов:

1. Цифры в числе: Поскольку у нас есть суммы 1 и 2, это означает, что в числе есть цифры, которые в сумме дают эти значения. Варианты могут быть такие: 0 и 1 (для суммы 1) и 1 и 1 (для суммы 2).

2. Количество сумм: У нас есть три суммы равные 1 и одна сумма равная 2. Это означает, что цифр в числе должно быть более двух, так как если бы было две цифры, мы могли бы получить только одну сумму.

3. Наименьшее число: Мы ищем наименьшее возможное число, которое могло бы привести к таким суммам.

Исходя из этих соображений, давайте рассмотрим варианты. Число должно включать цифры, дающие в сумме 1 и 2. Единственный способ получить сумму 2 - это сложить 1 и 1. Тогда как для получения суммы 1, мы можем сложить 0 и 1.

Поскольку у нас есть три суммы, равные 1, и одна сумма, равная 2, возможным решением будет число, состоящее из цифр 1, 0, 1 (в этой последовательности, чтобы получить наименьшее число).

Давайте проверим это:

• Сумма первой и второй цифр (1 и 0): 1
• Сумма первой и третьей цифр (1 и 1): 2
• Сумма второй и третьей цифр (0 и 1): 1

Таким образом, суммы цифр числа 101 будут 1, 2, 1. Однако, у нас есть еще одна сумма равная 1, которая не объясняется этим трехзначным числом. Это означает, что мы пропустили еще одну цифру.

Если добавить еще одну цифру 1, получится число 1101:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 2 (но одну из этих сумм Петя мог стереть)
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 2 (но одну из этих сумм Петя мог стереть)
• 0 + 1 = 1

Таким образом, у нас получаются суммы 2, 1, 1, 1, и еще одна сумма 2, которую Петя мог стереть. Следовательно, наименьшее число, которое мог задумать Петя и которое соответствует условиям задачи, это 1101.