На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки M и K так, что ∠BAM = ∠DCK (точка M лежит между точками B и K). До- кажите, что BM = DK. срочно

Для доказательства того, что отрезки $BM = DK$, давайте рассмотрим задачу шаг за шагом. Итак, у нас есть параллелограмм $ABCD$ с диагональю $BD$. На диагонали отмечены точки $M$ и $K$ таким образом, что $\angle BAM = \angle DCK$, при этом точка $M$ лежит между точками $B$ и $K$.

Шаг 1. Свойства параллелограмма

Вспомним основные свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
2. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам.

Значит, диагональ $BD$ делится точкой пересечения с диагональю $AC$ на две равные части.

Шаг 2. Работа с углами

Нам дано, что углы $\angle BAM = \angle DCK$. Это важно для дальнейших рассуждений. Рассмотрим эти углы более подробно:

• $\angle BAM$ — угол между стороной $AB$ и отрезком $BM$,
• $\angle DCK$ — угол между стороной $DC$ и отрезком $DK$.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма $AB$ и $DC$ параллельны, углы $\angle BAM$ и $\angle DCK$ оказываются соответствующими углами при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DC$ диагональю $BD$. По свойству параллельных прямых и секущей такие углы равны. Поэтому равенство углов $\angle BAM = \angle DCK$ выполняется по построению.

Шаг 3. Треугольники

Теперь обратим внимание на треугольники $\triangle BAM$ и $\triangle DCK$:

• В этих треугольниках у нас есть равные углы: $\angle BAM = \angle DCK$.
• Кроме того, сторона $AB = DC$ (так как это стороны параллелограмма).

Остается доказать равенство третьей стороны в этих треугольниках. Поскольку точки $M$ и $K$ лежат на диагонали $BD$, которая делится на две части точкой пересечения с диагональю $AC$, то отрезки $BM$ и $DK$ являются частями одной и той же диагонали $BD$. Таким образом, по свойству диагоналей параллелограмма, которые делятся пополам в точке пересечения, и на основании равенства углов и сторон $AB = DC$, треугольники $BAM$ и $DCK$ оказываются равными по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Шаг 4. Заключение

Из равенства треугольников $BAM$ и $DCK$ следует, что соответствующие стороны этих треугольников также равны, а именно: $BM = DK$. Это и требовалось доказать.