Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 15 см

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник, можно воспользоваться формулой:

$r = \frac{S}{p}$

где:

• $r$ — радиус окружности,
• $S$ — площадь треугольника,
• $p$ — полупериметр треугольника.

Шаг 1: Находим полупериметр

Полупериметр $p$ можно найти по формуле:

$p = \frac{a + b + c}{2}$

где $a$, $b$, и $c$ — длины сторон треугольника. В нашем случае:

• $a = 5$ см,
• $b = 12$ см,
• $c = 15$ см.

Подставим значения:

$p = \frac{5 + 12 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \, \text{см}$

Шаг 2: Находим площадь треугольника

Для нахождения площади треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ можно воспользоваться формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

Теперь подставим значения:

• $p = 16$ см,
• $p - a = 16 - 5 = 11$ см,
• $p - b = 16 - 12 = 4$ см,
• $p - c = 16 - 15 = 1$ см.

Теперь рассчитаем площадь:

$S = \sqrt{16 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 1}$

$S = \sqrt{64 \cdot 11} = \sqrt{704}$

Приблизительно это равно $26.53 \, \text{см}^2$.

Шаг 3: Находим радиус вписанной окружности

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника $S$ и полупериметр $p$, подставим их в формулу для радиуса:

$r = \frac{S}{p} = \frac{26.53}{16}$

Приблизительно это равно $1.66 \, \text{см}$.

Ответ

Таким образом, радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 15 см, составляет примерно $1.66 \, \text{см}$.