1)a) 15^cosx = 3^cosx * (0,2)^ - sinx
б) найдите все корни этого уравнения принадлежащие промежутку [-3пи; -3пи/2]

2)В правильной треугольной пирамиде SABC, с вершиной S, все ребра которой равны 3, точка М - середина ребра АС, точка О - центр основания пирамиды, Точка F делит отрезок SO в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды. Найдте угол между плоскостью MCF и АВС

Давайте разберём ваши вопросы по частям.

1. a) Уравнение: $15^{\cos(x)} = 3^{\cos(x)} \cdot (0.2)^{-\sin(x)}$

Сначала упростим уравнение. Заметим, что $15 = 3 \cdot 5$, и $0.2 = \frac{1}{5}$. Тогда уравнение принимает вид:

$(3 \cdot 5)^{\cos(x)} = 3^{\cos(x)} \cdot 5^{\sin(x)}$

$3^{\cos(x)} \cdot 5^{\cos(x)} = 3^{\cos(x)} \cdot 5^{\sin(x)}$

Отсюда, при условии $3^{\cos(x)} \neq 0$ (что всегда верно, так как любое число в степени отличной от нуля не равно нулю), получаем:

$5^{\cos(x)} = 5^{\sin(x)}$

Отсюда следует, что $\cos(x) = \sin(x)$. Это уравнение имеет решения при $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ - любое целое число.

b) Найдем корни на промежутке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$. В этом интервале подходят следующие значения $n$: -3 и -2. Таким образом, корни уравнения:

• $x = \frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{11\pi}{4}$
• $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$

2. В правильной треугольной пирамиде SABC с рёбрами равными 3, точка М - середина ребра АС, точка О - центр основания пирамиды, а точка F делит отрезок SO в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды.

Чтобы найти угол между плоскостью MCF и ABC, сначала найдем длину SO. Поскольку SABC - правильная пирамида, SO - это высота пирамиды. Высота равностороннего треугольника с ребром 3 равна $\sqrt{3^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, SO = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Точка F делит SO в отношении 2:1, следовательно, SF = $\frac{2}{3} \cdot SO = \sqrt{3}$ и OF = $\frac{1}{3} \cdot SO = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы найти угол между плоскостями, нам нужно рассмотреть линию пересечения этих плоскостей. В данном случае это прямая, проходящая через точки M и F. Найдем угол между этой прямой и плоскостью ABC. Так как MF перпендикулярна плоскости ABC, угол между плоскостью MCF и ABC равен углу, который лежит между прямой, проведенной из точки C к прямой MF, и плоскостью ABC.

Таким образом, нам нужно рассмотреть треугольник CMO (где O - проекция точки F на плоскость ABC) и найти угол MCO. Для этого можно использовать теорему синусов или косинусов, найдя все стороны треугольника. Длина CO легко находится как радиус описанной окружности вокруг основания пирамиды, который равен $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot AC = \sqrt{3}$. Длина MO равна половине длины ребра, то есть 1.5. Используя эти данные, можно вычислить угол MCO.