Постройте график функции y=4/x. Какова область определения функции? При каких значениях x функция принимает положительные значения?

Для построения графика функции $y = \frac{4}{x}$ и анализа ее свойств, давайте разберем все по порядку.

1. Область определения функции

Область определения функции – это множество значений $x$, для которых функция имеет смысл. В нашем случае функция $y = \frac{4}{x}$ определена для всех значений $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Таким образом, область определения функции можно записать как: $D(y) = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 \}$ Это означает, что $x$ может принимать любое значение, кроме нуля.

2. Положительные значения функции

Чтобы определить, при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения, нужно решить неравенство: $\frac{4}{x} > 0$

Рассмотрим два случая:

• Когда $x > 0$: Если $x$ положительно, то $\frac{4}{x}$ также будет положительным, так как 4 – положительное число. В этом случае функция принимает положительные значения.

• Когда $x < 0$: Если $x$ отрицательно, то $\frac{4}{x}$ будет отрицательным, так как деление положительного числа на отрицательное дает отрицательный результат.

Следовательно, функция $y = \frac{4}{x}$ принимает положительные значения только при $x > 0$.

3. Построение графика функции

График функции $y = \frac{4}{x}$ представляет собой гиперболу, которая находится в первой и третьей четвертях координатной плоскости:

• В первой четверти (где $x > 0$ и $y > 0$) график убывает и приближается к осям, но никогда не пересекает их, так как $y$ не может быть равно нулю.
• В третьей четверти (где $x < 0$ и $y < 0$) график также убывает и приближается к осям, но остается отрицательным.

Таким образом, для графика функции $y = \frac{4}{x}$ можно выделить основные моменты:

• Область определения: $x \in \mathbb{R}, x \neq 0$
• Положительные значения функции: $x > 0$

Эти характеристики помогают лучше понять поведение функции и её графическое представление.