Постройте график функции: f(x)=x^2-8x+7. Используя график, найдите 1) область значений функции;
2) промежуток возрастания функции;
3) множество решений неравенства f(x)=0.

Для решения задачи с графиком функции $f(x) = x^2 - 8x + 7$, давайте сначала разберёмся с ее свойствами.

1. Построение графика функции

Функция $f(x) = x^2 - 8x + 7$ является квадратичной, и её график представляет собой параболу, открывающуюся вверх. Чтобы построить график, мы можем воспользоваться общими свойствами квадратичных функций:

• Коэффициенты:

  • $a = 1$ (коэффициент при $x^2$)
  • $b = -8$ (коэффициент при $x$)
  • $c = 7$ (свободный член)

• Вершина параболы: Вершина квадратичной функции находится по формуле $x = -\frac{b}{2a}$. Подставим значения:

  $$x = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4.$$

  Теперь найдем значение функции в этой точке:

  $$f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9.$$

  Таким образом, вершина параболы находится в точке $(4, -9)$.

• Корни функции: Найдём корни уравнения $f(x) = 0$ с помощью дискриминанта:

  $$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36.$$

  Корни находятся по формуле:

  $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 6}{2}.$$

  Это даёт два корня:

  $$x_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1.$$

  Таким образом, корни функции — это $x = 1$ и $x = 7$.

2. Область значений функции

Поскольку парабола открыта вверх и её вершина находится в точке $(4, -9)$, минимальное значение функции — это $-9$. Так как $f(x) \to \infty$ при $x \to \pm \infty$, область значений функции:

3. Промежуток возрастания функции

Функция будет возрастать, когда $x$ больше координаты вершины. То есть:

• Функция убывает на интервале $(-\infty, 4)$.
• Функция возрастает на интервале $(4, +\infty)$.

Таким образом, промежуток возрастания функции:

4. Множество решений неравенства $f(x) = 0$

Неравенство $f(x) = 0$ имеет два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$. Значит, функция будет положительной вне этих корней, и отрицательной между ними. Таким образом, множество решений неравенства $f(x) \leq 0$:

Итоги

1. Область значений функции: $[-9, +\infty)$
2. Промежуток возрастания функции: $(4, +\infty)$
3. Множество решений неравенства $f(x) \leq 0$: $[1, 7]$

Таким образом, график функции $f(x) = x^2 - 8x + 7$ помогает определить все перечисленные свойства.