Постройте график функции f(x)=x^2+6x+8. Используя график, найдите: 1)область значений функции
2)промежуток возрастания и промежуток убывания функции
3)множество решений неравенства: а)f(x) > 0; б)f(x) ≤ 0;
4)наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а)[-4;0]
б) [1;3]

На основе построенного графика функции $f(x) = x^2 + 6x + 8$, рассмотрим запрошенные характеристики:

1. Область значений функции: Функция $f(x)$ является квадратичной функцией с положительным коэффициентом при $x^2$. Это означает, что график - парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы. Из графика видно, что функция принимает значения больше или равные минимальному значению в вершине. Следовательно, область значений функции - это все действительные числа, начиная с минимального значения функции в вершине и больше.

2. Промежуток возрастания и убывания функции: Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает до своей вершины, а затем возрастает. Вершина параболы находится в точке, где $x = -\frac{b}{2a}$, где $a$ и $b$ - коэффициенты при $x^2$ и $x$ соответственно. В данном случае $a = 1$ и $b = 6$, так что вершина находится в точке $x = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, -3)$ и возрастает на промежутке $(-3, +\infty)$.

3. Множество решений неравенства: а) $f(x) > 0$: Из графика видно, что функция принимает положительные значения, когда $x$ находится вне интервала между двумя корнями уравнения $f(x) = 0$. Эти корни можно найти алгебраически. б) $f(x) ≤ 0$: Аналогично, функция принимает неположительные значения внутри интервала, ограниченного корнями уравнения $f(x) = 0$.

4. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутках: а) На промежутке $[-4; 0]$: Наибольшее и наименьшее значения будут в крайних точках промежутка или в вершине параболы, если она попадает в этот интервал. Вершина здесь не попадает, поэтому нужно сравнить значения функции в точках -4 и 0. б) На промежутке $[1; 3]$: Аналогично, наибольшее и наименьшее значения будут на краях интервала, так как вершина параболы (-3) не попадает в этот интервал.

Для точного определения корней уравнения $f(x) = 0$, а также для вычисления значений функции в указанных точках, проведем соответствующие расчеты. ​​

Рассмотрим результаты расчетов:

Корни уравнения $f(x) = 0$ равны -4 и -2. Это означает, что:

• Для $f(x) > 0$, множество решений - это интервалы $(-\infty, -4)$ и $(-2, +\infty)$.
• Для $f(x) ≤ 0$, множество решений - это интервал $[-4, -2]$.

Теперь оценим наибольшие и наименьшие значения функции на заданных промежутках:

а) На промежутке $[-4; 0]$:

• Значение функции в точке -4 равно 0.
• Значение функции в точке 0 равно 8. Следовательно, наименьшее значение функции на этом интервале равно 0 (в точке -4), а наибольшее - 8 (в точке 0).

б) На промежутке $[1; 3]$:

• Значение функции в точке 1 равно 15.
• Значение функции в точке 3 равно 35. Значит, наименьшее значение функции на этом интервале равно 15 (в точке 1), а наибольшее - 35 (в точке 3). ​​