Исследуйте функцию на четность y = x^2cos6x

Чтобы определить, является ли функция $y = x^2 \cos(6x)$ четной, нечетной или ни той, ни другой, нужно рассмотреть её поведение при замене $x$ на $-x$. Для этого выполним проверку по следующим шагам.

1. Подстановка $-x$ и анализ функции

Подставим $-x$ вместо $x$ в исходное выражение:

Раскроем скобки и упростим:

1. $(-x)^2 = x^2$, так как квадрат любого числа, положительного или отрицательного, всегда положителен.
2. $\cos(6(-x)) = \cos(-6x)$.

Используем свойство чётности функции косинуса, согласно которому $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$. Это свойство показывает, что косинус является чётной функцией. Таким образом, $\cos(-6x) = \cos(6x)$.

Теперь у нас:

2. Сравнение $y(-x)$ и $y(x)$

Мы видим, что после подстановки $-x$ функция $y(-x)$ осталась той же, что и исходная функция $y(x)$:

3. Заключение о четности функции

Так как $y(-x) = y(x)$, функция $y = x^2 \cos(6x)$ является чётной.

В общем случае, если при замене $x$ на $-x$ функция не меняется (то есть $y(-x) = y(x)$), то функция является чётной.