Найти область определения функции y = arccos(2x/(1+x)).

Область определения функции \( y = \arccos\left(\frac{2x}{1+x}\right) \) — это все значения \( x \), при которых выражение под арккосинусом имеет смысл и лежит в отрезке \([-1; 1]\).

Решим систему неравенств:

• \( \frac{2x}{1+x} \ge -1 \)
• \( \frac{2x}{1+x} \le 1 \)
• \( x \ne -1 \)

Первое неравенство: \( \frac{2x}{1+x} + 1 \ge 0 \Rightarrow \frac{3x+1}{1+x} \ge 0 \). Нули числителя и знаменателя: \( x = -\frac{1}{3} \), \( x = -1 \). Методом интервалов получаем \( x \in (-\infty; -1) \cup \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right) \).

Второе неравенство: \( \frac{2x}{1+x} - 1 \le 0 \Rightarrow \frac{x-1}{1+x} \le 0 \). Нули: \( x = 1 \), \( x = -1 \). Решение: \( x \in (-1; 1] \).

Пересекаем решения с учётом \( x \ne -1 \): \( x \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right] \).

Ответ: \( x \in \left[-\frac{1}{3}; 1\right] \).

0 0 Пожаловаться