1-й, 10-й и 13-й члены арифметической прогрессии, взятые в данном порядке, образуют убывающую геометрическую прогрессию. Известно, что 5-й член арифметической прогрессии равен 38. Найдите сумму первых 15 членов этой прогрессии.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен \( a_1 \), а разность равна \( d \). Тогда:

\[a_{10}=a_1+9d, \quad a_{13}=a_1+12d\]

По условию числа \( a_1 \), \( a_{10} \), \( a_{13} \) образуют геометрическую прогрессию, значит:

\[(a_1+9d)^2=a_1(a_1+12d)\]

Раскроем скобки:

\[a_1^2+18a_1d+81d^2=a_1^2+12a_1d\]

\[6a_1d+81d^2=0\]

Так как геометрическая прогрессия убывающая, \( d \neq 0 \). Тогда:

\[6a_1+81d=0\]

\[2a_1+27d=0\]

Известно, что \( a_5=38 \), то есть:

\[a_1+4d=38\]

Из уравнения \( 2a_1+27d=0 \) получаем:

\[a_1=-\frac{27d}{2}\]

Подставим:

\[-\frac{27d}{2}+4d=38\]

\[-\frac{19d}{2}=38\]

\[d=-4\]

Тогда:

\[a_1=54\]

Найдём сумму первых 15 членов:

\[S_{15}=\frac{15}{2}(2a_1+14d)\]

\[S_{15}=\frac{15}{2}(108-56)=\frac{15}{2}\cdot52=390\]

Ответ: \( 390 \).

0 0 Пожаловаться