Постройте график функции у = 0,5 cos x – 2. При каких значениях х функция возрастает? Убывает?

Построим график функции $y = 0.5 \cos x - 2$ и определим, при каких значениях $x$ она возрастает и убывает.

Шаг 1. Анализ функции

Функция $y = 0.5 \cos x - 2$ состоит из двух частей:

1. Коэффициент 0.5 перед $\cos x$ - уменьшает амплитуду функции косинуса. В обычной функции $\cos x$ амплитуда равна 1, а здесь она уменьшена до 0.5. Это означает, что значения функции будут колебаться в пределах от -0.5 до 0.5.

2. Сдвиг на -2 - сдвигает весь график вниз на 2 единицы. Это изменяет диапазон значений функции, и теперь он составляет от -2.5 до -1.5.

Таким образом, график функции $y = 0.5 \cos x - 2$ представляет собой косинусоиду с амплитудой 0.5, сдвинутую вниз на 2 единицы. Функция имеет период $2\pi$, как и стандартная функция $\cos x$.

Шаг 2. Построение графика

График этой функции будет колебаться между значениями -2.5 и -1.5 с периодом $2\pi$.

1. В точке $x = 0$, $\cos x = 1$, и значение функции равно $y = 0.5 \cdot 1 - 2 = -1.5$.
2. В точке $x = \pi$, $\cos x = -1$, и значение функции равно $y = 0.5 \cdot (-1) - 2 = -2.5$.
3. В точке $x = 2\pi$, $\cos x = 1$, и значение функции снова равно $y = -1.5$.

Таким образом, график функции колеблется между значениями -1.5 и -2.5 и повторяется каждые $2\pi$ по оси $x$.

Шаг 3. Определение интервалов возрастания и убывания

Функция $y = 0.5 \cos x - 2$ возрастает и убывает в зависимости от знака производной. Найдём производную функции по $x$:

Производная $y' = -0.5 \sin x$ меняет знак, когда $\sin x = 0$, то есть при $x = k \pi$, где $k$ - целое число.

1. Интервалы убывания: $y' < 0$, когда $\sin x > 0$, то есть на интервалах $(0, \pi)$, $(2\pi, 3\pi)$, и так далее. Таким образом, функция убывает на интервалах:

   $$x \in (2k\pi, (2k+1)\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

2. Интервалы возрастания: $y' > 0$, когда $\sin x < 0$, то есть на интервалах $(\pi, 2\pi)$, $(3\pi, 4\pi)$, и так далее. Таким образом, функция возрастает на интервалах:

   $$x \in ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ

• Функция $y = 0.5 \cos x - 2$ возрастает на интервалах $((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$, где $k$ - целое число (например, $x \in (\pi, 2\pi)$, $(3\pi, 4\pi)$ и так далее).
• Функция $y = 0.5 \cos x - 2$ убывает на интервалах $(2k\pi, (2k+1)\pi)$, где $k$ - целое число (например, $x \in (0, \pi)$, $(2\pi, 3\pi)$ и так далее).

Эти интервалы определяют поведение функции по возрастанию и убыванию в течение её периода.