Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа составят арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Для того чтобы решить задачу, будем рассматривать два случая: геометрическую прогрессию и арифметическую прогрессию.

Геометрическая прогрессия:

Пусть три числа, которые образуют геометрическую прогрессию, это $a$, $b$ и $c$, где $c = 12$ (по условию задачи). В геометрической прогрессии для трех чисел выполняется следующее соотношение:

Из этого уравнения получаем:

Подставим $c = 12$:

Арифметическая прогрессия:

Теперь рассмотрим случай, когда вместо 12 в прогрессии стоит 9, и числа $a$, $b$, и 9 образуют арифметическую прогрессию. В арифметической прогрессии для трех чисел выполняется условие:

Отсюда:

Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $b^2 = 12a$
2. $b = \frac{a + 9}{2}$

Подставим выражение для $b$ из второго уравнения в первое:

Развернем квадрат:

Умножим обе части на 4:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, два возможных значения для $a$:

Находим соответствующие $b$ и $c$:

1. Если $a = 27$, подставляем в уравнение (2):

Тогда из уравнения (1) находим $c$:

Это верно, следовательно, $a = 27$, $b = 18$, $c = 12$.

2. Если $a = 3$, подставляем в уравнение (2):

Проверяем условие (1):

Это тоже верно, следовательно, $a = 3$, $b = 6$, $c = 12$.

Ответ:

Итак, два возможных набора чисел, которые соответствуют условиям задачи:

1. $a = 27$, $b = 18$, $c = 12$
2. $a = 3$