В арифметической прогрессии сумма первых восьми членов равна 32, а сумма первых двадцати членов равна 200. Чему равна сумма первых 28 членов этой прогрессии?

Дано: \(S_8 = 32\), \(S_{20} = 200\). Найти \(S_{28}\).

Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\).

Составим систему:

\[ \begin{cases} \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) = 32 \\ \frac{20}{2}(2a_1 + 19d) = 200 \end{cases} \]

Упростим: \(4(2a_1 + 7d) = 32 \Rightarrow 2a_1 + 7d = 8\); \(10(2a_1 + 19d) = 200 \Rightarrow 2a_1 + 19d = 20\).

Вычтем первое уравнение из второго: \((2a_1 + 19d) - (2a_1 + 7d) = 20 - 8 \Rightarrow 12d = 12 \Rightarrow d = 1\).

Подставим \(d = 1\) в первое: \(2a_1 + 7 \cdot 1 = 8 \Rightarrow 2a_1 = 1 \Rightarrow a_1 = 0{,}5\).

Теперь \(S_{28} = \frac{28}{2}(2 \cdot 0{,}5 + 27 \cdot 1) = 14(1 + 27) = 14 \cdot 28 = 392\).

Ответ: 392.

0 0 Пожаловаться