доказать тождество: tg a/ tg a + ctg a = sin (в квадрате) альфа  

Будем доказывать тождество:

\[\frac{\tan \alpha}{\tan \alpha+\cot \alpha}=\sin^2 \alpha\]

Заменим тангенс и котангенс через синус и косинус:

\[\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\]

Тогда левая часть равна:

\[\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}\]

Приведём знаменатель к общему знаменателю:

\[\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin \alpha\cos \alpha}\]

Так как \(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1\), получаем:

\[\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1}{\sin \alpha\cos \alpha}}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\cdot \sin \alpha\cos \alpha=\sin^2 \alpha\]

Тождество доказано.

0 0 Пожаловаться