Докажите, что функция f(x) = -1/3x³ + 1/2x² - 2x + 12 убывает на множестве действительных чисел.

Найдём производную функции:

\[ f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-2x+12 \]

\[ f'(x)=-x^2+x-2 \]

Теперь докажем, что производная всегда отрицательна:

\[ f'(x)=-(x^2-x+2) \]

Рассмотрим квадратный трёхчлен \(x^2-x+2\). Его дискриминант:

\[ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7 \]

Так как \(D0\) при всех действительных \(x\).

Значит,

\[ f'(x)=-(x^2-x+2)

0 0 Пожаловаться