Упростите выражение: 3/x-3 - x+15/x^2-9 - 2/x

Чтобы упростить выражение $\frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{x^2-9} - \frac{2}{x}$, начнем с поиска общего знаменателя. Обратите внимание, что $x^2 - 9$ это разность квадратов и может быть разложено на множители как $(x-3)(x+3)$. Таким образом, общий знаменатель для всех трех частей выражения будет $x(x-3)(x+3)$.

Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю:

1. Для первого слагаемого $\frac{3}{x-3}$ знаменатель нужно дополнить до $x(x-3)(x+3)$, умножив числитель и знаменатель на $x(x+3)$, получим $\frac{3x(x+3)}{x(x-3)(x+3)}$.
2. Второе слагаемое $\frac{x+15}{x^2-9}$ уже имеет знаменатель, равный $(x-3)(x+3)$, но ему не хватает множителя $x$, так что умножим числитель и знаменатель на $x$, получим $\frac{x(x+15)}{x(x-3)(x+3)}$.
3. Для третьего слагаемого $\frac{2}{x}$ знаменатель нужно дополнить до $x(x-3)(x+3)$, умножив числитель и знаменатель на $(x-3)(x+3)$, получим $\frac{2(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)}$.

Теперь у нас есть:

$\frac{3x(x+3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{x(x+15)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{2(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)}$

Сложим и вычтем числители:

$= \frac{3x^2 + 9x - x^2 - 15x - 2(x^2 - 9)}{x(x-3)(x+3)}$

$= \frac{2x^2 - 6x - 2x^2 + 18}{x(x-3)(x+3)}$

Упростим числитель:

$= \frac{-6x + 18}{x(x-3)(x+3)}$

Вынесем общий множитель:

$= \frac{-6(x - 3)}{x(x-3)(x+3)}$

Так как $x - 3$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, мы можем его сократить, при условии, что $x \neq 3$ (поскольку на 0 делить нельзя). После сокращения получим:

$= \frac{-6}{x(x+3)}$

Это и есть упрощенное выражение, при условии, что $x \neq 3$ и $x \neq 0$, поскольку при этих значениях знаменатель обращается в ноль, что делает выражение неопределенным.