Используя формулы сложения для тангенса и котангенса, найдите значения:
2) ctg 15°
4) tg 105°
6) ctg 105°
И ещё задание: найдите значения ctg(α+β) и ctg(α−β), если ctg α = 2 и ctg β = −1,6.

Используем формулы:

\[ \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} \]

\[ \operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta-1}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta} \]

• \( \operatorname{ctg}15^\circ=\operatorname{ctg}(45^\circ-30^\circ)=2+\sqrt3 \)
• \( \operatorname{tg}105^\circ=\operatorname{tg}(60^\circ+45^\circ)=-(2+\sqrt3) \)
• \( \operatorname{ctg}105^\circ=\frac{1}{\operatorname{tg}105^\circ}=\sqrt3-2 \)

Теперь \( \operatorname{ctg}\alpha=2 \), \( \operatorname{ctg}\beta=-1{,}6=-\frac85 \).

\[ \operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=\frac{2\cdot\left(-\frac85\right)-1}{2+\left(-\frac85\right)}=\frac{-\frac{16}{5}-1}{\frac25}=\frac{-\frac{21}{5}}{\frac25}=-\frac{21}{2} \]

\[ \operatorname{ctg}(\alpha-\beta)=\frac{2\cdot\left(-\frac85\right)+1}{-\frac85-2}=\frac{-\frac{16}{5}+1}{-\frac{18}{5}}=\frac{-\frac{11}{5}}{-\frac{18}{5}}=\frac{11}{18} \]

Ответ: \( \operatorname{ctg}15^\circ=2+\sqrt3 \), \( \operatorname{tg}105^\circ=-(2+\sqrt3) \), \( \operatorname{ctg}105^\circ=\sqrt3-2 \), \( \operatorname{ctg}(\alpha+\beta)=-\frac{21}{2} \), \( \operatorname{ctg}(\alpha-\beta)=\frac{11}{18} \).

0 0 Пожаловаться