Точка A1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:3. Точка B1 делит сторону AC в отношении 3:2. Прямая A1B1 пересекает
продолжение стороны AB в точке C1. Найдите отношение AB:BC1.

Давайте разберемся с этим шаг за шагом. У нас есть треугольник ABC, и необходимо найти отношение $AB:BC_1$, где точка $C_1$ — это точка пересечения прямой $A_1B_1$ с продолжением стороны $AB$.

1. Определим местоположение точек:

• Точка $A_1$ делит сторону $BC$ в отношении 1:3. То есть: $$\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{1}{3}.$$
• Точка $B_1$ делит сторону $AC$ в отношении 3:2. То есть: $$\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{3}{2}.$$

2. Используем теорему о пересечении (Пропорции в подобных треугольниках):

Чтобы решить задачу, применим принцип о пропорциональных отрезках и свойство подобия треугольников. Рассмотрим следующее:

• Прямая $A_1B_1$ пересекает продолжение стороны $AB$ в точке $C_1$. Это значит, что треугольники $A_1B_1C$ и $ABC_1$ подобны, так как прямые пересекаются в точке, и пересеченная прямая образует пропорциональные отрезки.

3. Используем систему пропорций для вычисления отношения:

Поскольку треугольники $A_1B_1C$ и $ABC_1$ подобны, то их стороны пропорциональны. Мы можем записать систему пропорций для сторон $AB$, $BC$, и $AC$. Для сторон треугольников, включая точки деления, получаем:

Однако, для упрощения, мы можем рассмотреть только отношение $AB:BC_1$, которое будет равно произведению коэффициентов, полученных из отношения делений сторон:

Подставим данные:

4. Ответ:

Таким образом, отношение $AB:BC_1$ равно $1:2$.