Вокруг прямоугольного поля площадью S=400 га должны быть посажены деревья в виде полосы шириной l=10м.Каковы должны быть линейные размеры поля,чтобы
площадь,занимаемая деревьями,была наименьшей?

Для того чтобы минимизировать площадь, занятым деревьями, нужно найти такие линейные размеры прямоугольного поля, при которых площадь полосы шириной $l = 10$ м, которая будет окружать поле, будет минимальной, при условии, что площадь самого поля $S = 400$ га.

Шаг 1: Формулировка задачи

Площадь поля $S$ задана как $S = 400$ га, что в квадратных метрах равняется:

Допустим, длина и ширина прямоугольного поля равны $a$ и $b$ (в метрах). Тогда площадь поля $S$ выражается как:

Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых площадь полосы шириной 10 м, окружающей поле, будет минимальной.

Шаг 2: Выражение площади полосы

Полоса шириной 10 м, окружающая поле, образует рамку вокруг прямоугольника. Таким образом, общая площадь, включая поле и полосу, будет определяться размерами поля с учётом добавленных полос:

• Длина внешнего прямоугольника будет $a + 2 \times 10 = a + 20$ м.
• Ширина внешнего прямоугольника будет $b + 2 \times 10 = b + 20$ м.

Таким образом, площадь внешнего прямоугольника (с деревьями) будет:

Площадь полосы с деревьями будет разницей между общей площадью внешнего прямоугольника и площадью поля:

Распишем это выражение:

Упростим:

Шаг 3: Минимизация площади полосы

Нам нужно минимизировать площадь полосы, то есть минимизировать выражение:

Это выражение минимизируется, когда $a$ и $b$ равны. Для этого используем условие $a \times b = 4 \times 10^6$. Если $a = b$, то площадь поля будет квадратной, и получим:

Следовательно,

То же самое для $b$, то есть $b = 2000 \, \text{м}$.

Шаг 4: Ответ

Таким образом, чтобы минимизировать площадь, занятым деревьями, линейные размеры поля должны быть равны 2000 м на 2000 м.