Помогите решить, пожалуйста
Число 68 представьте в виде суммы двух положительных чисел так,чтобы сумма квадратов слагаемых была наименьшей.

Чтобы представить число 68 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей, нужно разобраться, как расположить слагаемые.

Предположим, что $x$ и $y$ — это такие два числа, которые в сумме дают 68, то есть $x + y = 68$. Нам нужно минимизировать выражение суммы квадратов $x^2 + y^2$.

1. Условие задачи и цель

Итак, задача сводится к следующему:

• $x + y = 68$
• Минимизировать $x^2 + y^2$.

2. Выражаем одно число через другое

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 68 - x$

Теперь подставим $y$ в выражение для суммы квадратов: $f(x) = x^2 + (68 - x)^2$

3. Найдём производную и приравняем её нулю

Чтобы минимизировать функцию, возьмём её производную по $x$ и приравняем к нулю: $f(x) = x^2 + (68 - x)^2$ Раскроем скобки: $f(x) = x^2 + 4624 - 136x + x^2$ Объединим подобные слагаемые: $f(x) = 2x^2 - 136x + 4624$

Теперь найдём производную $f'(x)$: $f'(x) = 4x - 136$

Приравняем производную к нулю для нахождения минимума: $4x - 136 = 0$ $4x = 136$ $x = 34$

4. Найдём значение второго числа $y$

Подставим $x = 34$ в уравнение $y = 68 - x$: $y = 68 - 34 = 34$

5. Проверка и ответ

Получается, что оптимальное разбиение числа 68 на два положительных слагаемых, при котором сумма квадратов минимальна, — это $x = 34$ и $y = 34$.

Итак, минимальная сумма квадратов достигается при разбиении $68 = 34 + 34$, и тогда: $x^2 + y^2 = 34^2 + 34^2 = 1156 + 1156 = 2312$

Ответ: Число 68 можно представить в виде суммы двух положительных чисел 34 и 34, чтобы сумма квадратов этих чисел была минимальной и равнялась 2312.