Геометриялық прогрессия.

Ответы на вопрос

Отвечает Сметанка Евгений.

Геометриялық прогрессия — бұл әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшесін бір тұрақты санға көбейту арқылы алынатын сан тізбегі.

Яғни, егер тізбек:

a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots

түрінде берілсе және әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшеге бірдей санды көбейту арқылы табылса, онда бұл тізбек геометриялық прогрессия деп аталады.

Мысалы:

2,\ 6,\ 18,\ 54,\ 162,\ldots

Бұл геометриялық прогрессия, себебі әрбір келесі мүшені алу үшін алдыңғы мүшені 3-ке көбейтеміз:

6:2=3,\quad 18:6=3,\quad 54:18=3

Мұндағы 3 саны — геометриялық прогрессияның еселігі деп аталады. Ол көбіне $q$ әрпімен белгіленеді.

Геометриялық прогрессияның жалпы түрі:

a_1,\ a_1q,\ a_1q^2,\ a_1q^3,\ldots

Мұнда:

a_1

— бірінші мүшесі,

q

— еселігі,

a_n

— $n$ -ші мүшесі.

Геометриялық прогрессияның $n$ -ші мүшесінің формуласы:

a_n=a_1q^{n-1}

Бұл формула арқылы кез келген мүшені табуға болады.

Мысалы, егер:

a_1=5,\quad q=2

болса, онда 6-мүшесін табайық:

a_6=5\cdot 2^{6-1}

a_6=5\cdot 2^5

a_6=5\cdot 32=160

Демек, 6-мүше:

a_6=160

Геометриялық прогрессия мүшелерінің қосындысын табу үшін мына формула қолданылады:

S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1},\quad q\neq 1

Мұнда:

S_n

— алғашқы $n$ мүшенің қосындысы.

Мысалы:

3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots

тізбегі берілсін. Мұнда:

a_1=3,\quad q=2

Алғашқы 4 мүшесінің қосындысы:

S_4=3+6+12+24=45

Формуламен тексерсек:

S_4=\frac{3(2^4-1)}{2-1}

S_4=3(16-1)=3\cdot 15=45

Демек, формула дұрыс нәтиже береді.

Егер геометриялық прогрессияның еселігі $q$ 1-ден үлкен болса, прогрессия өседі. Мысалы:

2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots

Егер $0$ болса, прогрессия кемиді. Мысалы:

100,\ 50,\ 25,\ 12.5,\ldots

Егер $q$ теріс сан болса, онда прогрессия мүшелерінің таңбалары кезектесіп өзгереді. Мысалы:

2,\ -6,\ 18,\ -54,\ldots

Мұнда:

q=-3

Геометриялық прогрессияның негізгі қасиеті:

a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}

Яғни, кез келген ортаңғы мүше көрші екі мүшенің геометриялық ортасына байланысты болады.

Мысалы:

4,\ 8,\ 16

Мұнда:

8^2=4\cdot 16

64=64

Сондықтан бұл геометриялық прогрессияның қасиеті орындалады.

Қорытындылай айтқанда, геометриялық прогрессия — әрбір келесі мүшесі алдыңғы мүшені тұрақты бір санға көбейту арқылы алынатын тізбек. Оның негізгі формулалары:

a_n=a_1q^{n-1}

және

S_{n} = a_{1} (<

Геометриялық прогрессия.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра