Докажите, что является составным числом значение выражения: 2^n + 7^n, 2^n + 11^n.

В условии, скорее всего, имеется в виду, что n — нечетное натуральное число. Без этого утверждение неверно: например, при $n=2$

— простое число.

Докажем для нечетного $n$.

1) $2^n+7^n$

Так как $n$ — нечетное число, используется формула суммы степеней:

Подставим $a=2$, $b=7$:

Получаем:

Значит, число $2^n+7^n$ делится на 9.

Так как $2^n+7^n>9$ при натуральном $n>1$, у него есть делитель 9, отличный от 1 и самого числа. Следовательно,

2) $2^n+11^n$

Аналогично, так как $n$ нечетное:

Так как

получаем:

То есть число $2^n+11^n$ делится на 13.

При $n>1$

поэтому делитель 13 является нетривиальным.

Следовательно,

Итак, при нечетном натуральном $n$ оба выражения являются составными числами.