Народ!!! Подскажите, пожалуйста, можно ли в системах уравнений одно уравнение делить на другое (всегда ли это можно делать?)

Нет, всегда делить одно уравнение системы на другое нельзя. Это можно делать только в определенных случаях.

Если у нас есть система:

то формально можно разделить одно уравнение на другое только тогда, когда выражение, на которое мы делим, точно не равно нулю при всех возможных решениях.

Например:

Можно разделить первое уравнение на второе:

Получаем:

Но здесь это не дает новых сведений — мы просто увидели, что первое уравнение является удвоенным вторым.

А вот такой пример:

Если поделить первое уравнение на второе:

получится:

Но это действие допустимо только потому, что из второго уравнения известно: $x=2$, то есть $x\ne 0$.

А если было бы:

делить первое уравнение на второе нельзя, потому что пришлось бы делить на ноль.

Еще одна проблема: при делении можно потерять решения. Например:

Если первое уравнение разделить на $x$, получится:

Но исходное уравнение при $x=0$ дает:

и подходит любое значение $y$. После деления мы потеряли множество решений.

Поэтому в системах уравнений обычно не делят одно уравнение на другое, а используют сложение, вычитание, умножение уравнений на число или выражение с учетом ограничений. Деление допустимо только тогда, когда точно известно, что делитель не может быть равен нулю, и нужно проверить, что новые преобразования не изменяют множество решений.