1. Задает ли указанное правило функцию y=f(x):

1) f(х)={2/х, если 0 -x-4,если x<=0

2) f(x)={ х в куб
е +1, если -2<=x<=0, -√x, если x>=0

Чтобы определить, задают ли указанные правила функции $y = f(x)$, проверим, удовлетворяют ли они определению функции. Напомним, что функция $f(x)$ — это правило, которое сопоставляет каждому значению переменной $x$ ровно одно значение переменной $y$.

1. ( f(x) =

\begin{cases} \frac{2}{x}, & \text{если } 0 < x \leq 4, \ -x - 4, & \text{если } x \leq 0 \end{cases} )

Для проверки функции:

1. Рассмотрим область определения:

   • Для первого условия ($0 < x \leq 4$): значение функции определено для всех $x > 0$ до 4 включительно.
   • Для второго условия ($x \leq 0$): значение функции определено для всех $x \leq 0$.
   • Совокупность этих двух областей охватывает все $x \leq 4$ (пустых «разрывов» в области определения нет).

2. На каждом участке каждому $x$ сопоставлено одно значение $f(x)$:

   • Для $0 < x \leq 4$, $f(x) = \frac{2}{x}$, это однозначная формула.
   • Для $x \leq 0$, $f(x) = -x - 4$, это также однозначная формула.

3. Условия не пересекаются, так как для $x = 0$ значение функции не определено.

Вывод: Правило задаёт функцию, так как каждому $x$ из области определения соответствует одно значение $y$.

2. ( f(x) =

\begin{cases} x^3 + 1, & \text{если } -2 \leq x \leq 0, \ -\sqrt{x}, & \text{если } x \geq 0 \end{cases} )

1. Рассмотрим область определения:

   • Для первого условия ($-2 \leq x \leq 0$): значение функции определено для $x$ от $-2$ до $0$ включительно.
   • Для второго условия ($x \geq 0$): значение функции определено для $x \geq 0$, но есть ограничение: $-\sqrt{x}$ определён только для $x \geq 0$.

2. На каждом участке каждому $x$ сопоставлено одно значение $f(x)$:

   • Для $-2 \leq x \leq 0$, $f(x) = x^3 + 1$ — однозначная формула.
   • Для $x \geq 0$, $f(x) = -\sqrt{x}$ — однозначная формула.

3. Условия соединяются в точке $x = 0$:

   • Для $x = 0$: из первого условия $f(0) = 0^3 + 1 = 1$;
   • Из второго условия $f(0) = -\sqrt{0} = 0$. Значения для $x = 0$ расходятся (1 ≠ 0).

Вывод: Правило не задаёт функцию, так как одному значению $x = 0$ соответствуют два разных значения $y$.

Итог:

1. Первое правило задаёт функцию $y = f(x)$.
2. Второе правило не задаёт функцию $y = f(x)$.