Чтобы определить, задают ли указанные правила функции y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) x x x y y y
1. ( f(x) = \begin{cases}
\frac{2}{x}, & \text{если } 0 < x \leq 4, \
-x - 4, & \text{если } x \leq 0
\end{cases} )
Для проверки функции:
Рассмотрим область определения:
Для первого условия (0 < x ≤ 4 0 < x \leq 4 0 < x ≤ 4 x > 0 x > 0 x > 0 Для второго условия (x ≤ 0 x \leq 0 x ≤ 0 x ≤ 0 x \leq 0 x ≤ 0 Совокупность этих двух областей охватывает все x ≤ 4 x \leq 4 x ≤ 4 На каждом участке каждому x x x f ( x ) f(x) f ( x )
Для 0 < x ≤ 4 0 < x \leq 4 0 < x ≤ 4 f ( x ) = 2 x f(x) = \frac{2}{x} f ( x ) = x 2 Для x ≤ 0 x \leq 0 x ≤ 0 f ( x ) = − x − 4 f(x) = -x - 4 f ( x ) = − x − 4 Условия не пересекаются, так как для x = 0 x = 0 x = 0
Вывод : Правило задаёт функцию, так как каждому x x x y y y
2. ( f(x) = \begin{cases}
x^3 + 1, & \text{если } -2 \leq x \leq 0, \
-\sqrt{x}, & \text{если } x \geq 0
\end{cases} )
Рассмотрим область определения:
Для первого условия (− 2 ≤ x ≤ 0 -2 \leq x \leq 0 − 2 ≤ x ≤ 0 x x x − 2 -2 − 2 0 0 0 Для второго условия (x ≥ 0 x \geq 0 x ≥ 0 x ≥ 0 x \geq 0 x ≥ 0 − x -\sqrt{x} − x x ≥ 0 x \geq 0 x ≥ 0 На каждом участке каждому x x x f ( x ) f(x) f ( x )
Для − 2 ≤ x ≤ 0 -2 \leq x \leq 0 − 2 ≤ x ≤ 0 f ( x ) = x 3 + 1 f(x) = x^3 + 1 f ( x ) = x 3 + 1 Для x ≥ 0 x \geq 0 x ≥ 0 f ( x ) = − x f(x) = -\sqrt{x} f ( x ) = − x Условия соединяются в точке x = 0 x = 0 x = 0
Для x = 0 x = 0 x = 0 f ( 0 ) = 0 3 + 1 = 1 f(0) = 0^3 + 1 = 1 f ( 0 ) = 0 3 + 1 = 1 Из второго условия f ( 0 ) = − 0 = 0 f(0) = -\sqrt{0} = 0 f ( 0 ) = − 0 = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Вывод : Правило не задаёт функцию , так как одному значению x = 0 x = 0 x = 0 y y y
Итог: Первое правило задаёт функцию y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) Второе правило не задаёт функцию y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) 
