3. Закон движения точки по прямой задается формулой S(t) = 12t^3 + 5t^2 + 11, где t — время (в секундах), путь — в метрах. Вычислить скорость точки в момент t = 4 с.

Дано:

Закон движения точки по прямой:

где $S(t)$ — путь в метрах, $t$ — время в секундах.

Найти скорость точки в момент времени $t=4$ с.

Решение

1. Найдём формулу скорости.

Мгновенная скорость точки равна первой производной пути по времени:

Для нахождения скорости продифференцируем функцию:

Используем правило дифференцирования степенной функции:

Тогда:

Вычисляем производную каждого слагаемого:

• $(12t^3)'=36t^2$

• $(5t^2)'=10t$

• $(11)'=0$, поскольку производная постоянной равна нулю.

Получаем формулу скорости:

2. Вычислим скорость при $t=4$ с.

Подставляем значение времени в полученную формулу:

Возводим 4 в квадрат:

Выполняем умножение:

Ответ:

Скорость точки в момент времени $t=4$ с равна 616 м/с.