Трапеция ABCD (AB||CD) лежит в плоскости a, АВ=8 см. Вне плоскости a взяли точку М и на отрезке АМ отметили такую точку К, что АК: КМ=3:1. Точка F – точка пересечения плоскости ( DKC ) и отрезка МВ. Най дите длину отрезка KF .

Рассмотрим решение задачи пошагово, чтобы найти длину отрезка $KF$.

1. Исходные данные и условия:

   • У нас есть трапеция $ABCD$ с параллельными сторонами $AB$ и $CD$, где $AB = 8$ см.
   • Трапеция лежит в плоскости $\alpha$.
   • Вне этой плоскости взята точка $M$.
   • На отрезке $AM$ выбрали точку $K$ так, что $AK : KM = 3 : 1$.
   • Нужно найти точку $F$, где пересекается плоскость $(DKC)$ и отрезок $MB$, и определить длину $KF$.

2. Расположение точек и условные обозначения: Для упрощения решения можно ввести систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$, точка $B$ лежит на оси $x$ на расстоянии 8 см от $A$, то есть $B = (8, 0, 0)$. Предположим, что $C$ и $D$ также лежат в плоскости $\alpha$ и их координаты нам не так важны для непосредственного решения, так как их точное положение в плоскости не влияет на соотношения между другими точками.

3. Находим координаты точки $K$: Поскольку $K$ делит отрезок $AM$ в отношении $3 : 1$, мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении. Если координаты точки $M$ заданы как $(x_M, y_M, z_M)$, то координаты $K$ находятся как

   $$K = \left( \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot x_M}{3 + 1}, \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot y_M}{3 + 1}, \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot z_M}{3 + 1} \right) = \left( \frac{x_M}{4}, \frac{y_M}{4}, \frac{z_M}{4} \right).$$

4. Плоскость $(DKC)$: Чтобы найти точку пересечения этой плоскости с отрезком $MB$, нужно определить уравнение плоскости $(DKC)$. Это можно сделать, используя три точки $D$, $K$, и $C$ и составив уравнение плоскости по формуле

   $$A(x - x_D) + B(y - y_D) + C(z - z_D) = 0,$$

   где $A$, $B$, $C$ — это компоненты нормального вектора, который можно получить через векторное произведение $\overrightarrow{DK} \times \overrightarrow{DC}$.

5. Пересечение плоскости с отрезком $MB$: После нахождения уравнения плоскости можно подставить параметрическое уравнение для точки на отрезке $MB$:

   $$M_t = (1 - t)M + tB,$$

   где $t \in [0, 1]$. Подставляя $M_t$ в уравнение плоскости, мы найдем параметр $t$, который соответствует точке пересечения $F$.

6. Длина отрезка $KF$: Определив координаты точки $F$ как $(x_F, y_F, z_F)$ и зная координаты $K$ как $(x_K, y_K, z_K)$, можем найти длину $KF$ по формуле расстояния между двумя точками:

   $$KF = \sqrt{(x_F - x_K)^2 + (y_F - y_K)^2 + (z_F - z_K)^2}.$$