Дана арифметическая прогрессия, в которой 100 чисел. Разность прогрессии равна 60.

а) Может ли в прогрессии быть ровно 8 чисел, кратных 11?

б) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть в прогрессии?

в) Какое наибольшее количество чисел, кратных 11, может быть в прогрессии?

Дано: арифметическая прогрессия из 100 чисел, разность прогрессии $d=60$.

Решение

Заметим, что

То есть при переходе к следующему члену прогрессии остаток от деления на 11 увеличивается на 5.

Поскольку числа 5 и 11 взаимно простые, среди любых 11 последовательных целых членов этой прогрессии обязательно будет ровно одно число, кратное 11.

Это означает, что числа, кратные 11, встречаются в прогрессии через каждые 11 членов.

Разделим 100 на 11:

Таким образом, в прогрессии есть 9 полных групп по 11 чисел и ещё одно число.

В каждой полной группе ровно одно число кратно 11. Поэтому в прогрессии из целых чисел может быть либо 9, либо 10 чисел, кратных 11.

а) Может ли в прогрессии быть ровно 8 чисел, кратных 11?

Нет, не может.

Если хотя бы один член прогрессии кратен 11, то такие члены повторяются через каждые 11 позиций. Поэтому среди 100 членов их будет не меньше 9.

Если же первый член нецелый, то все члены прогрессии нецелые, поскольку разность равна целому числу 60. В таком случае чисел, кратных 11, вообще не будет.

Следовательно, ровно 8 таких чисел быть не может.

б) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть в прогрессии?

Если подразумевается, что все члены прогрессии целые, то наименьшее количество — 9.

Например, возьмём прогрессию:

Кратными 11 будут числа:

Всего их 9.

Однако в условии прямо не сказано, что члены прогрессии должны быть целыми. Если разрешены дробные числа, можно взять первый член равным $0{,}5$. Тогда ни один член не будет кратен 11.

Поэтому строго по данному условию наименьшее количество — 0, а при дополнительном условии целочисленности — 9.

в) Какое наибольшее количество чисел, кратных 11, может быть в прогрессии?

Наибольшее количество — 10.

Например, возьмём прогрессию с первым членом 11:

Каждый 11-й член, считая от первого, будет кратен 11.

Номера таких членов:

Всего 10 чисел.

Больше быть не может, поскольку между соседними членами, кратными 11, располагаются 10 членов, не кратных 11.

Ответ

Если по смыслу задачи прогрессия состоит из целых чисел:

а) Нет.

б) 9 чисел.

в) 10 чисел.

Если же придерживаться условия буквально, без требования целочисленности, то ответы:

а) Нет.

б) 0 чисел.

в) 10 чисел.