6sin²(x) + 2sin(x)cos(x) = 6. У меня получилось разложить это уравнение на множители таким образом: (cos²(x/2) - sin²(x/2)) · (3sin²(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) - 3cos²(x/2)) = 0. Когда первый множитель решаю как уравнение, приравнивая к нулю, ответ подходит, а вот во втором получается не очень красивый ответ...

Разложение на множители выполнено верно. Используем формулы:

\[\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x,\]

\[2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\sin x.\]

Тогда уравнение принимает вид:

\[\cos x(\sin x-3\cos x)=0.\]

Отсюда:

\[\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-3\cos x=0.\]

В первом случае:

\[x=\frac{\pi}{2}+\pi k.\]

Во втором случае:

\[\tan x=3,\]

\[x=\arctan 3+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\]

Ответ: \[x=\frac{\pi}{2}+\pi k \quad \text{или} \quad x=\arctan 3+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\]

0 0 Пожаловаться