Найти промежутки монотонности функции Y=2x^2-3x+4

Для нахождения промежутков монотонности функции $y = 2x^2 - 3x + 4$ необходимо выполнить несколько шагов.

1. Находим производную функции.

Производная функции $y = 2x^2 - 3x + 4$ — это скорость изменения функции, которая поможет определить, на каких промежутках функция возрастает или убывает.

Найдем первую производную:

2. Находим критические точки.

Чтобы найти критические точки, при которых функция может менять направление роста или убывания, приравняем первую производную к нулю:

Решим это уравнение:

Таким образом, критическая точка — это $x = \frac{3}{4}$.

3. Определяем, на каких промежутках функция возрастает или убывает.

Для этого исследуем знак производной $y' = 4x - 3$ на разных промежутках, разделенных критической точкой $x = \frac{3}{4}$.

• Для $x < \frac{3}{4}$ подставим любое значение из этого промежутка, например $x = 0$:

  $$y'(0) = 4(0) - 3 = -3$$

  Производная отрицательна, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{4})$.

• Для $x > \frac{3}{4}$ подставим значение $x = 1$:

  $$y'(1) = 4(1) - 3 = 1$$

  Производная положительна, значит функция возрастает на промежутке $(\frac{3}{4}, +\infty)$.

4. Ответ:

Функция $y = 2x^2 - 3x + 4$ убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{4})$ и возрастает на промежутке $(\frac{3}{4}, +\infty)$.