Постройте график функции y=(x-2)^2-1. Укажите для этой функции область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания (убывания), область изменения.

Для функции $y = (x - 2)^2 - 1$ рассмотрим её свойства и построим график, а также определим её основные характеристики:

1. Область определения функции

Функция $y = (x - 2)^2 - 1$ является квадратичной, поскольку представляет собой квадрат разности. Для квадратичных функций область определения неограниченна, так как квадрат любого числа существует. Следовательно, область определения:

2. Нули функции

Чтобы найти нули функции, приравняем $y$ к нулю и решим уравнение:

Добавляем 1 к обеим частям:

Теперь возьмем квадратный корень:

Получаем два значения $x$:

1. $x = 2 + 1 = 3$
2. $x = 2 - 1 = 1$

Следовательно, нули функции: $x = 1$ и $x = 3$.

3. Промежутки знакопостоянства

Функция меняет знак в точках, где $y = 0$, то есть в $x = 1$ и $x = 3$. Разобьем область определения на три промежутка: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$, и $(3, +\infty)$.

• На промежутке $(-\infty, 1)$, подставляя любое значение $x < 1$ в функцию (например, $x = 0$), получаем положительное значение $y$. Следовательно, на этом промежутке $y > 0$.
• На промежутке $(1, 3)$, подставляя любое значение $x \in (1, 3)$ (например, $x = 2$), получаем $y = -1$. Следовательно, на этом промежутке $y < 0$.
• На промежутке $(3, +\infty)$, подставляя значение $x > 3$ (например, $x = 4$), получаем положительное значение $y$. Следовательно, на этом промежутке $y > 0$.

Итак, знакопостоянство функции:

• $y > 0$ на промежутках $(-\infty, 1)$ и $(3, +\infty)$.
• $y < 0$ на промежутке $(1, 3)$.

4. Промежутки возрастания и убывания

Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции:

Рассмотрим знак производной:

• Если $x > 2$, то $y' > 0$, значит, функция возрастает.
• Если $x < 2$, то $y' < 0$, значит, функция убывает.

Таким образом:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2)$.
• Функция возрастает на промежутке $(2, +\infty)$.

5. Область изменения функции

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы, которая находится при $x = 2$. Подставляя $x = 2$ в функцию, получаем:

Поскольку парабола направлена вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), наибольшего значения функция не имеет. Следовательно, область изменения:

6. Построение графика

График функции $y = (x - 2)^2 - 1$ представляет собой параболу, которая смещена вправо на 2 единицы и вниз на 1 единицу относительно стандартного графика $y = x^2$. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

На графике парабола будет:

• пересекать ось $x$ в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$,
• вершина параболы — в точке $(2, -1)$,
• функция возрастает на $(2, +\infty)$ и убывает на $(-\infty, 2)$.