Дан треугольник ABC, на стороне AC которого взята точка D такая, что AD=5 см, а DC=19 см. Отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника. При этом площадь треугольника ABC составляет 192 см2. Найди площадь меньшего из образовавшихся треугольников, ответ дай в квадратных сантиметрах. 15 баллов

Для решения задачи давайте разобьем её на несколько шагов.

1. Площадь треугольника ABC: Из условия задачи известно, что площадь треугольника ABC равна 192 см².

2. Точка D делит сторону AC: Точка D лежит на стороне AC, так что длина отрезка AD равна 5 см, а длина отрезка DC — 19 см. Таким образом, общая длина стороны AC:

   $$AC = AD + DC = 5 + 19 = 24 \, \text{см}.$$

3. Пропорции между треугольниками: Отрезок DB делит треугольник ABC на два меньших треугольника: один из них имеет вершину A, а другой — вершину C. Площадь треугольников будет пропорциональна длинам сторон, которые они разделяют. Площадь каждого из этих треугольников пропорциональна длине отрезка, который они имеют на стороне AC (то есть AD и DC).

4. Площадь меньшего треугольника: Площадь треугольника пропорциональна длине основания (в данном случае это отрезок AC). Площадь меньшего треугольника будет пропорциональна длине отрезка AD.

   Давайте выразим площади треугольников через эту пропорцию. Пусть $S_{\text{ABC}} = 192$ см² — это площадь треугольника ABC, а $S_{\text{AD}}$ — площадь треугольника ABD, который делит сторону AC на два отрезка AD и DC.

   Площадь треугольника ABD будет пропорциональна длине отрезка AD, а площадь треугольника DBC — длине отрезка DC. Соотношение площадей этих треугольников можно записать как:

   $$\frac{S_{\text{ABD}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{AD}{AC}.$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{S_{\text{ABD}}}{192} = \frac{5}{24}.$$

   Тогда площадь треугольника ABD будет:

   $$S_{\text{ABD}} = 192 \times \frac{5}{24} = 40 \, \text{см}^2.$$

5. Площадь меньшего треугольника: Площадь меньшего из двух треугольников — это треугольник ABD, так как длина основания AD меньше, чем длина основания DC. Ответ: площадь меньшего треугольника составляет 40 см².

Таким образом, площадь меньшего из образовавшихся треугольников равна 40 см².