сформулируйте и докажите теорему Пифагора

Теорема Пифагора — одна из важнейших теорем в евклидовой геометрии, которая связывает стороны прямоугольного треугольника.

Формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Или, если обозначить:

• $a$ и $b$ — катеты треугольника,

• $c$ — гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу),

то теорема Пифагора записывается так:

Доказательство (геометрическое, через построение):

Рассмотрим один из классических способов доказательства, основанный на сравнении площадей.

1. Построим квадрат со стороной $a + b$. Внутри этого большого квадрата поместим четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$. Эти треугольники располагаем таким образом, чтобы их гипотенузы образовали меньший квадрат в центре.

2. Площадь большого квадрата равна:

3. Теперь выразим эту же площадь другим способом:

• Каждый из 4 треугольников имеет площадь $\frac{1}{2}ab$, значит суммарная площадь всех четырёх треугольников:

• Площадь оставшегося внутреннего квадрата с гипотенузой $c$ равна $c^2$

4. Суммируем площади:

5. Раскроем скобки:

6. Подставим в уравнение:

7. Вычтем $2ab$ из обеих частей:

Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Это и есть теорема Пифагора.