Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых

Теорема о двух пересекающихся прямых:

Если две прямые пересекаются, то они определяют единственную точку пересечения, и через эту точку можно провести бесконечно много прямых, каждая из которых будет пересекать обе данные прямые, если они не параллельны друг другу.

Подробное объяснение:

1. Определение пересечения прямых: Две прямые на плоскости пересекаются, если у них есть ровно одна общая точка. Эту точку называют точкой пересечения. Если прямые не параллельны и не совпадают, они обязательно пересекаются.

2. Существование и единственность точки пересечения: Пересекающиеся прямые определяются уравнениями вида:

   $$a_1x + b_1y + c_1 = 0$$

   и

   $$a_2x + b_2y + c_2 = 0.$$

   Решение этой системы уравнений дает единственную точку $(x, y)$, которая принадлежит обеим прямым. Таким образом, точка пересечения существует и является единственной.

3. Третья прямая через точку пересечения: Если через точку пересечения провести третью прямую, ее уравнение можно выразить как линейную комбинацию уравнений данных прямых. Это показывает, что через точку пересечения можно провести бесконечно много прямых.

4. Особые случаи:

   • Если коэффициенты $a_1:b_1:c_1$ пропорциональны коэффициентам $a_2:b_2:c_2$, то прямые совпадают (у них бесконечно много общих точек).
   • Если коэффициенты $a_1:b_1$ пропорциональны, но $c_1$ и $c_2$ нет, то прямые параллельны и не имеют точек пересечения.

Примеры:

• Если прямые заданы уравнениями $2x + y - 3 = 0$ и $x - y + 1 = 0$, их точка пересечения находится решением системы: $$\begin{cases} 2x + y - 3 = 0, \\ x - y + 1 = 0. \end{cases}$$ Решение этой системы: $x = 1, y = 1$. Значит, прямые пересекаются в точке $(1, 1)$.

Эта теорема является важной основой аналитической геометрии и служит для анализа взаимного расположения прямых на плоскости.