Сформулируйте и докажите теорему об окружности,описанной около правильного многоугольника

Теорема: Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность, причём все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а её центр совпадает с центром многоугольника.

Доказательство:

1. Определение правильного многоугольника: Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Такой многоугольник обладает центральной симметрией, и его вершины лежат на равном расстоянии от одной точки — центра симметрии.

2. Центр многоугольника как центр описанной окружности: Пусть $P_1, P_2, \dots, P_n$ — вершины правильного $n$-угольника. Все вершины равноправны, так как многоугольник правильный. Определим точку $O$ как центр симметрии многоугольника (или геометрический центр, если его строить с помощью пересечения медиан или диагоналей).

   Так как расстояния от центра $O$ до каждой вершины равны (по определению правильного многоугольника), существует радиус $R$, который одинаков для всех вершин:

   $$OP_1 = OP_2 = \dots = OP_n = R.$$

3. Окружность с радиусом $R$: Проведём окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению окружности, все точки, лежащие на окружности, находятся на расстоянии $R$ от центра. Мы видим, что все вершины $P_1, P_2, \dots, P_n$ правильного многоугольника лежат на этой окружности.

4. Единственность такой окружности: Если бы существовала другая окружность, описанная около данного многоугольника, то она имела бы другой радиус или другой центр. Однако из симметрии многоугольника ясно, что все вершины могут быть описаны только окружностью с радиусом $R$ и центром $O$. Поэтому описанная окружность единственна.

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность, причём её центр совпадает с центром многоугольника, а все вершины многоугольника лежат на окружности.