Сформулируйте теорему о отношении площадей двух треугольников, имеющих равные высоты.

Теорема об отношении площадей двух треугольников с равными высотами заключается в следующем:

Если два треугольника имеют одинаковую высоту, то отношение их площадей равно отношению длин их оснований. То есть, если у треугольников высоты одинаковы, то площадь каждого из них пропорциональна длине основания.

Доказательство:

Площадь треугольника можно выразить по формуле:

Обозначим площади двух треугольников как $S_1$ и $S_2$, высоты как $h_1$ и $h_2$, основания как $b_1$ и $b_2$.

Так как высоты треугольников одинаковы, то $h_1 = h_2 = h$, и формулы для площадей примут вид:

Теперь, чтобы найти отношение площадей $\frac{S_1}{S_2}$, делим эти выражения:

Таким образом, отношение площадей двух треугольников с одинаковыми высотами равно отношению их оснований.

Это свойство полезно, например, при решении задач, связанных с пропорциональностью площадей треугольников, когда высоты одинаковы или могут быть одинаковыми через конструктивные соображения.