Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Теорема об окружности, вписанной в треугольник, гласит:

Теорема: В любом треугольнике существует одна окружность, которая касается всех трёх сторон этого треугольника. Эта окружность называется вписанной окружностью, а её центр — инцентр.

Доказательство:

1. Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности. Нам нужно доказать, что эта окружность касается всех трёх сторон треугольника.

2. Для начала определим точки касания окружности с каждой из сторон треугольника. Обозначим точку касания окружности с стороной $BC$ буквой $D$, с стороной $CA$ — буквой $E$, а с стороной $AB$ — буквой $F$.

3. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Это означает, что угол, образованный двумя биссектрисами, является равным, а сам центр окружности equidistant от всех сторон треугольника.

4. Теперь, для того чтобы окружность действительно касалась всех сторон, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника должно быть одинаковым. Это условие выполняется, так как инцентр — это точка пересечения всех биссектрис, и от него до каждой стороны треугольника проводится перпендикуляр.

5. Поскольку инцентр — единственная точка, которая одновременно лежит на всех биссектрисах и от которой расстояние до всех сторон треугольника одинаково, то окружность с центром в точке $I$ и радиусом, равным расстоянию от $I$ до стороны, будет касаться всех трёх сторон треугольника.

Таким образом, в любом треугольнике существует одна окружность, которая касается всех его сторон.

Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

В каждый треугольник можно вписать только одну окружность. Эта окружность будет касаться всех трёх сторон треугольника, и её центр будет являться точкой пересечения биссектрис углов треугольника (инцентр). Поэтому количество окружностей, которые можно вписать в данный треугольник, всегда равно одному.