сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной

Теорема о свойстве касательной звучит так:

Теорема. Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

Доказательство:

Пусть у нас есть окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$, и пусть прямая $l$ — это касательная к окружности в точке $A$. Необходимо доказать, что прямая $l$ перпендикулярна к радиусу $OA$.

1. Определение касательной: Касательная к окружности — это прямая, которая касается окружности в одной точке, но не пересекает её. Таким образом, точка $A$ — это единственная точка, в которой прямая $l$ касается окружности.

2. Предположение противного: Пусть прямая $l$ не перпендикулярна к радиусу $OA$, то есть существует угол $\angle OAL$, не равный 90 градусам. В таком случае, прямая $l$ пересечет окружность в какой-то другой точке, кроме точки $A$, потому что угол между прямой и радиусом будет меньшим 90° (или большим 90°). Однако по определению касательной прямая $l$ не может пересекать окружность в двух точках, это противоречит свойствам касательной.

3. Использование понятия длины отрезков: Если бы прямая $l$ не была перпендикулярна радиусу, то существовала бы прямая, проходящая через точку $A$ и пересекающая окружность в двух точках. Однако из геометрии известно, что для касательной к окружности, если провести радиус к точке касания, то касательная будет перпендикулярна радиусу, поскольку расстояние от центра окружности до касательной всегда минимально. Иначе, если бы угол не был 90°, то касательная не касалась бы окружности в одной точке.

4. Заключение: Следовательно, если прямая $l$ — касательная к окружности в точке $A$, то она должна быть перпендикулярна радиусу $OA$, потому что иначе она не могла бы касаться окружности только в одной точке.

Таким образом, мы доказали теорему: касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.