Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции

Теорема о вычислении площади трапеции

Теорема: Площадь трапеции равна половине произведения суммы длин её оснований на высоту.

Доказательство:

Пусть дана трапеция ABCD, у которой основания $AB$ и $CD$ параллельны, а высота $h$ — это перпендикулярное расстояние между этими основаниями. Обозначим длины оснований через $a$ и $b$, где $a$ — длина основания $AB$, а $b$ — длина основания $CD$.

Для того чтобы вычислить площадь трапеции, нужно использовать общую формулу для площади фигуры. Площадь трапеции можно представить как площадь прямоугольного параллелограмма, у которого одна из сторон равна высоте трапеции, а другая сторона — средней линии трапеции, которая является средней арифметической длины оснований.

Средняя линия трапеции (обозначим её $m$) — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Длина средней линии $m$ вычисляется по формуле:

где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции.

Теперь, зная длину средней линии $m$ и высоту $h$, мы можем вычислить площадь трапеции. Площадь трапеции $S$ равна произведению средней линии на высоту:

Таким образом, мы получаем формулу для площади трапеции:

Эта формула доказывает, что площадь трапеции равна половине произведения суммы длин её оснований на высоту.

Пример:

Предположим, у нас есть трапеция с основаниями длиной 8 и 12 см, а высотой 5 см. Используя формулу, мы вычислим её площадь:

Итак, площадь данной трапеции равна 50 см².

Этот метод прост и удобен, поскольку для вычисления площади трапеции достаточно знать длины её оснований и высоту.