Дано: прямая б пересекает плоскость альфа в точке М. а||б. Доказать: а пересекает альфу.

Для решения задачи нам нужно доказать, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$, если прямая $b$, параллельная $a$, пересекает эту плоскость в точке $M$.

Дано:

1. Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$.
2. Прямая $a \parallel b$ (параллельна прямой $b$).

Требуется доказать:

Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$.

Решение:

Рассмотрим взаимное расположение прямых и плоскости в пространстве:

1. Прямая $a$ и прямая $b$ параллельны. Это означает, что они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости, не пересекаясь.
2. Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Это значит, что $b$ и $\alpha$ имеют одну общую точку.

Теперь, для того чтобы понять, пересекает ли прямая $a$ плоскость $\alpha$, воспользуемся свойством параллельных прямых:

• Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то вторая прямая либо также пересекает эту плоскость, либо лежит в ней.

Таким образом, возможны два случая:

1. Прямая $a$ и $b$ лежат в одной плоскости, и эта плоскость пересекает $\alpha$. В этом случае, поскольку $b$ пересекает $\alpha$ в точке $M$, прямая $a$ также пересекает плоскость $\alpha$. Это следует из того, что в плоскости, проходящей через две параллельные прямые, невозможно, чтобы одна из них пересекала другую плоскость, а другая — нет.

2. Прямая $a$ и $b$ параллельны и находятся в разных плоскостях, но $a$ не лежит в $\alpha$. Однако в таком случае прямая $a$ не может быть параллельной $b$, так как для этого необходимо, чтобы $a$ и $b$ лежали в одной плоскости. Поскольку это условие нарушает данное (а именно, что $a \parallel b$), этот случай невозможен.

Таким образом, остается единственный возможный случай: прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$, если прямая $b$, параллельная ей, уже пересекает $\alpha$.

Вывод:

Мы доказали, что если прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, а прямая $a \parallel b$, то прямая $a$ также пересекает плоскость $\alpha$.