Катет МР прямоугольного треугольника МРК расположен в плоскости альфа. Расстояние от вершины К до плоскости альфа равно 5 см. Угол Р =90, МР=12, КР=9. а) вычислите длину проекции гипотенузы треугольника МРК на плоскость альфа. б) Докажите, что прямая МР перпендикулярна плоскости, в которой расположены катет РК и его проекция на плоскость альфа

Для решения задачи начнем с анализа условий. Итак, нам дан прямоугольный треугольник $\triangle MRK$, в котором:

• $\angle R = 90^\circ$,
• Катет $MR = 12$ см,
• Гипотенуза $KR = 9$ см,
• Катет $MR$ лежит в плоскости $\alpha$,
• Расстояние от вершины $K$ до плоскости $\alpha$ равно 5 см.

Часть а) Вычисление длины проекции гипотенузы треугольника $MRK$ на плоскость $\alpha$.

Для начала, определим длину проекции гипотенузы $KR$ на плоскость $\alpha$. Гипотенуза $KR$ проецируется на плоскость $\alpha$ под прямым углом, так как расстояние от точки $K$ до плоскости $\alpha$ равно 5 см (перпендикуляр из точки $K$ на плоскость $\alpha$).

Найдем длину проекции гипотенузы $KR$ на плоскость. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один катет равен $5$ см (расстояние от точки $K$ до плоскости), а другой катет — проекция $KR$ на плоскость. Гипотенуза этого треугольника — это длина $KR$, которая равна $9$ см.

Обозначим длину проекции $KR$ на плоскость $\alpha$ через $x$. Тогда по теореме Пифагора для этого треугольника можем записать:

Таким образом, длина проекции гипотенузы $KR$ на плоскость $\alpha$ равна приблизительно 7.48 см.

Часть б) Доказательство перпендикулярности прямой $MR$ плоскости.

Нам нужно доказать, что прямая $MR$, которая является катетом треугольника $MRK$, перпендикулярна плоскости, в которой лежат катет $RK$ и его проекция на плоскость $\alpha$.

Так как по условию катет $MR$ уже лежит в плоскости $\alpha$, нам достаточно доказать, что плоскость, образованная катетом $RK$ и его проекцией на плоскость $\alpha$, перпендикулярна к прямой $MR$.

Рассмотрим следующее:

• $RK$ — это гипотенуза треугольника $MRK$,
• Прямая $MR$ лежит в плоскости $\alpha$, то есть она является горизонтальной по отношению к этой плоскости.
• Катет $RK$ наклонен относительно плоскости $\alpha$, а его проекция на эту плоскость уже лежит в ней.

Так как прямая $MR$ является горизонтальной (лежит в $\alpha$), а плоскость, образованная $RK$ и его проекцией, перпендикулярна к плоскости $\alpha$ (что мы видим из условия, так как расстояние от точки $K$ до плоскости $\alpha$ — это перпендикуляр), то прямая $MR$ будет перпендикулярна этой плоскости.

Таким образом, прямая $MR$ действительно перпендикулярна плоскости, в которой находятся катет $RK$ и его проекция на плоскость $\alpha$.