Дан куб ABCDA1B1C1D1 и плоскость альфа, проходящая через точки A; B и D. Назовите:
1) точки, принадлежащие плоскости альфа и точки, не принадлежащие плоскости альфа.
2) прямые, пересекающие плоскость альфа и прямые не пересекающие плоскость альфа.
3) прямые, пересекающие BD и не лежащие в плоскости альфа.

Ваш вопрос затрагивает несколько основных понятий геометрии, связанных с взаимным расположением точек, прямых и плоскостей в пространстве. Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 и плоскость альфа, проходящую через точки A, B и D.

1. Точки, принадлежащие плоскости альфа: Поскольку плоскость альфа проходит через точки A, B и D, все эти точки, очевидно, принадлежат плоскости альфа. Плоскость также будет содержать все точки отрезков AB, AD и BD, поскольку если плоскость содержит концы отрезка, она содержит и весь отрезок. Таким образом, кроме точек A, B и D, плоскость альфа также содержит все точки на этих трех отрезках.

Точки, не принадлежащие плоскости альфа: Все остальные вершины куба (C, A1, B1, C1, D1) не принадлежат плоскости альфа. Это также относится к точкам, лежащим на отрезках или гранях, не связанных непосредственно с точками A, B и D.

2. Прямые, пересекающие плоскость альфа:

• Прямые, содержащие отрезки AB, AD и BD, полностью лежат в плоскости альфа, следовательно, они не пересекают её, а принадлежат ей.
• Прямые, проходящие через вершины A, B, D и любую из оставшихся вершин куба (например, AC, A1A, BD1 и так далее), будут пересекать плоскость альфа, поскольку одна точка прямой лежит в плоскости, а другая — вне её.

Прямые, не пересекающие плоскость альфа:

• Прямые, полностью лежащие в плоскости альфа (например, AB, AD, BD), не пересекают её, как уже упоминалось.
• Прямые, параллельные плоскости альфа и не лежащие в ней, также не будут её пересекать. Например, прямая, проходящая через точки C и C1, будет параллельна плоскости альфа и не пересечёт её.

3. Прямые, пересекающие BD и не лежащие в плоскости альфа:

• Любая прямая, проходящая через точку на отрезке BD и любую вершину куба, не лежащую на прямой BD и не в плоскости альфа, будет пересекать BD и не лежать в плоскости альфа. Примерами могут служить прямые, проходящие через середину BD и вершины C, C1, A1, B1.
• Важно отметить, что прямая, соединяющая середину BD с вершиной D или B, будет лежать в плоскости альфа, поэтому такие прямые не подходят под данное условие.

Эти объяснения предполагают идеальные, математически точные фигуры и плоскости, и в реальных условиях могут возникать дополнительные нюансы из-за неточностей в измерениях и определениях.