Вариант 2.

1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

а) Ненулевые векторы т и пназываются противоположно направленными, если ...

б) а = - Ь, если ...

в) Векторы с и к ∙ с сонаправлены, если ...




г) Если АВСD - ромб, то СВ + СD =...


2. Установите истинность утверждений:

а) Произведением ненулевого вектора а на число к называется такой вектор b, что │b│ = │k│∙│a│

б) Средней линией трапеции называется отрезок, соединяю­щий середины ее противоположных сторон.

в) От любой точки М можно отложить вектор, равный данно­му вектору а , и притом только один.


3.Выберите верный ответ из предложенных: B C

АВСD - квадрат (рис.). АВ = 4.


A D

│ва + BC│ равен: а) 8; б) 4 √2; в) √8




4. Упростите выражение: РВ-ОD + МС -РА + ВМ + ОА

а)DA + СА;

б) DA +АС;

в) DC.


5. В параллелограмме АВСDдиагонали пересекаются в точке О.Выразить через векторы а = АВ и b = АD вектор ОD.

Давайте поэтапно разберем каждый пункт из вашего задания.

Вариант 2.1

1. Заполните пропуски:

   а) Ненулевые векторы т и п называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Это означает, что векторы имеют одно и то же направление (линия, вдоль которой они расположены), но противоположные ориентации.

   б) а = - b, если векторы а и b имеют одинаковую длину, но противоположное направление. Это обозначает, что один вектор является отрицательным вариантом другого.

   в) Векторы с и к ∙ с сонаправлены, если вектор к является положительным скаляром. То есть, если вектор к умножается на вектор с, и результатом является вектор, который направлен в ту же сторону, что и вектор с.

   г) Если АВСD - ромб, то СВ + СD = АD. Это утверждение связано с тем, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

2. Установите истинность утверждений:

   а) Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, что |b| = |k|∙|a|. Это утверждение истинно, так как длина результирующего вектора равна произведению длины вектора на скаляр.

   б) Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее противоположных сторон. Это утверждение также истинно, так как по определению средней линии трапеции именно так и описывается ее характеристика.

   в) От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один. Это утверждение истинно, так как вектор определяет направление и длину, и для его построения от заданной точки существует только одно возможное направление.

3. Выберите верный ответ из предложенных:

   Для квадрата АВСD, где АВ = 4, и с учетом того, что стороны квадрата равны, мы имеем:

   АD + BC = 8 (так как каждая сторона равна 4, и две стороны в сумме дают 8). Поэтому правильный ответ - а) 8.

4. Упростите выражение:

   Выражение РВ - ОD + МС - РА + ВМ + ОА можно упростить. Предположим, что:

   • РВ и РА – это векторы от точки Р к другим точкам.
   • OD и OA – это векторы, которые также соединяют разные точки.

   После упрощения получим:

   • DA + СА или DA + AC в зависимости от выбора направления, что дает нам ответ а) или б), в зависимости от системы координат и заданных векторов.

5. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Выразить через векторы a = AB и b = AD вектор OD.

   Векторы, соединяющие точки в параллелограмме, имеют следующие соотношения:

   Вектор OD можно выразить через векторы a и b как:

   $$\vec{OD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(a + b)$$

   Это выражение показывает, что вектор OD равен полусумме векторов AB и AD, так как они пересекаются в точке O.

Таким образом, мы прошли через все пункты, и я надеюсь, что ответ был полезен и понятен!