4. В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке Р. Отрезок АР меньше отрезка ВР в 6 раза. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14 см. 5. Из вершины тупого угла В ромба АВСD опущена высота ВК на сторону AD. Угол КВD равен 15º. Найдите высоту ВК, если периметр ромба равен 32 см.

6. Прямая, пересекающая диагональ ВD параллелограмма АВСD в точке Е, пересекает его стороны АВ и СD в точках М и К соответственно, причем МЕ = КЕ. Докажите, что четырехугольник ВКDМ – параллелограмм.

Давайте подробно рассмотрим каждую из этих задач по геометрии.

Задача 4

Условие: В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке Р. Отрезок АР меньше отрезка ВР в 6 раз. Найти периметр параллелограмма, если АВ = 14 см.

Решение:

1. Обозначим длину АР как x см. Тогда ВР = 6x см.
2. Поскольку АР + ВР = АВ, то x + 6x = 14.
3. Отсюда, 7x = 14, следовательно, x = 2 см.
4. Таким образом, АР = 2 см и ВР = 12 см.
5. Стороны параллелограмма равны попарно, поэтому DC = AB = 14 см.
6. Периметр параллелограмма равен сумме всех сторон: P = 2(AB + BC) = 2(14 + 12) = 52 см.

Задача 5

Условие: Из вершины тупого угла В ромба АВСD опущена высота ВК на сторону AD. Угол КВD равен 15º. Найдите высоту ВК, если периметр ромба равен 32 см.

Решение:

1. Периметр ромба равен 32 см, следовательно, каждая сторона равна 32/4 = 8 см.
2. Рассмотрим треугольник ВКD. Угол КВD = 15º.
3. ВК является высотой, следовательно, она также является катетом, противолежащим углу 15º.
4. Используем тригонометрическое соотношение: $\sin(15º) = \frac{ВК}{ВD}$.
5. ВD = 8 см, $\sin(15º)$ приблизительно равен 0.2588.
6. Из этого соотношения: ВК = ВD * $\sin(15º)$ ≈ 8 * 0.2588 ≈ 2.07 см.

Задача 6

Условие: Прямая, пересекающая диагональ ВD параллелограмма АВСD в точке Е, пересекает его стороны АВ и СD в точках М и К соответственно, причем МЕ = КЕ. Докажите, что четырехугольник ВКDМ – параллелограмм.

Доказательство:

1. Так как МЕ = КЕ, точка Е является серединой отрезка МК.
2. В параллелограмме диагонали делятся пополам, следовательно, точка Е также является серединой диагонали BD.
3. По свойству средней линии в треугольнике, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.
4. Рассматривая треугольники ВМЕ и КЕD, можно утверждать, что МЕ параллелен KD и ЕК параллелен ВМ.
5. Таким образом, ВК и МD параллельны и равны, что соответствует определению параллелограмма.
6. Следовательно, ВКDМ является параллелограммом.