В треугольнике ABC известно, что AB=2, BC=4, AC=3, BN - биссектриса треугольника. Прямая, проходящая через вершину A перпендикулярно BN, пересекает сторону BC в точке M. Докажите, что биссектриса угла С делит пополам отрезок MN.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ с данными $AB = 2$, $BC = 4$, $AC = 3$. Пусть $BN$ — биссектриса угла $B$, а $AM$ — прямая, проходящая через вершину $A$ перпендикулярно $BN$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Нужно доказать, что биссектриса угла $C$ делит пополам отрезок $MN$.

1. Основные свойства биссектрисы

Биссектриса $BN$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные сторонам $AB$ и $BC$. Пусть точка пересечения биссектрисы $BN$ с $AC$ — это точка $N$. Тогда:

Обозначим $AN = x$ и $NC = 2x$, так как $AC = 3$, то:

2. Положение точки $M$

Прямая $AM$ проходит через $A$ и перпендикулярна $BN$. Точка $M$ — точка пересечения $AM$ с $BC$.

Так как $BN$ — биссектриса угла $B$, она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла, а также пересекает $BC$ в точке, которая пропорционально делит $BC$. Пусть $BM = p$, $MC = q$, тогда:

Так как $BC = 4$, из пропорции:

Решая уравнение:

3. Биссектриса угла $C$

Биссектриса угла $C$ делит $MN$ на два равных отрезка. Проверим это. Координаты точек удобнее задать на плоскости.

Расположение вершин треугольника:

• Пусть $B = (0, 0)$, $C = (4, 0)$, $A = (x_A, y_A)$. Найдем $A$, зная длины сторон: $$AB^2 = x_A^2 + y_A^2 = 4, \quad AC^2 = (x_A - 4)^2 + y_A^2 = 9.$$

Рассмотрим систему:

Раскроем второе уравнение:

Подставим $x_A^2 + y_A^2 = 4$