Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.

Решение.

Рассмотрим невырожденный треугольник $ABC$ и прямую $r$, параллельную стороне $AB$.

1. Прямая $AC$ не параллельна $AB$ (иначе $A,B,C$ лежали бы на одной прямой, и треугольник выродился бы).
   Поскольку $r \parallel AB$, из этого следует, что $AC$ не параллельна и прямой $r$ (ведь две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой; а $AC$ не параллельна $AB$).
   В евклидовой геометрии любые две различные непараллельные прямые на плоскости пересекаются ровно в одной точке. Следовательно, $AC$ пересекает $r$ (внутри отрезка $AC$ или на его продолжении — это уже вопрос расположения $r$).

2. Точно так же прямая $BC$ не параллельна $AB$; значит, она не параллельна и $r$. Следовательно, $BC$ пересекает $r$ (также либо на самом отрезке $BC$, либо на его продолжении).

Отдельно отметим частный случай: если $r$ совпадает с $AB$, то пересечения очевидны — $AC$ пересекает $r$ в точке $A$, а $BC$ — в точке $B$.

Итак, в любом случае прямые $AC$ и $BC$ пересекают прямую $r$. Что и требовалось доказать.