1) Каково взаимное расположение двух плоскостей, если третья плоскость пересекает их по прямым: а) имеющим общую точку; б) не имеющим общих точек?

2) Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть ее боковыми сторонами?

3) Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если эти прямые пересекают две параллельные плоскости, и их отрезки, заключенные между плоскостями, не равны?

4) Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Выясните взаимное расположение этих плоскостей, если отрезки данных прямых, заключенные между этими плоскостями, не равны.

5) Прямая а пересекает параллельные плоскости α и β в точках А и В. Прямая b, параллельная прямой а, пересекает плоскости в точках D и С. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 3 см, ВС = 4 см.

6) Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

1) Каково взаимное расположение двух плоскостей, если третья плоскость пересекает их по прямым:

• а) имеющим общую точку.
  В этом случае две плоскости, пересекаемые третьей, пересекаются по одной прямой, а эта прямая, в свою очередь, пересекает третью плоскость в одной точке. Это означает, что две плоскости могут быть скрещивающимися, и их пересечение может быть прямой, но они могут также быть параллельными, если третья плоскость пересекает их в общей точке.

• б) не имеющим общих точек.
  Если третья плоскость пересекает обе исходные плоскости по прямым, не имеющим общих точек, это может означать, что исходные плоскости либо параллельны друг другу, либо скрещиваются. Третья плоскость в данном случае действует как некоторая пространственная граница, разделяющая плоскости, при этом каждая прямая пересекает свою собственную плоскость в разных точках.

2) Две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях. Могут ли эти стороны быть ее боковыми сторонами?

Да, такие стороны могут быть боковыми сторонами трапеции. Трапеция — это четырехугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна. Если две стороны трапеции лежат в параллельных плоскостях, то эти стороны могут быть боковыми, а оставшиеся две стороны будут параллельными и находиться в других плоскостях. Параллельность плоскостей не мешает этим сторонам быть боковыми, так как параллельные прямые могут располагаться в разных плоскостях, а их соединение может быть перпендикулярным этим плоскостям, образуя нужную форму трапеции.

3) Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если эти прямые пересекают две параллельные плоскости, и их отрезки, заключенные между плоскостями, не равны?

Если две прямые пересекают две параллельные плоскости, и их отрезки между этими плоскостями не равны, это означает, что прямые не являются параллельными. В данном случае прямые могут быть скрещивающимися прямыми, которые не лежат в одной плоскости и пересекаются в пространстве, но не имеют общего положения относительно данных плоскостей. Разница в длине отрезков между плоскостями свидетельствует о том, что прямые наклонены относительно этих плоскостей, что делает их расположение скрещивающимся.

4) Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Выясните взаимное расположение этих плоскостей, если отрезки данных прямых, заключенные между этими плоскостями, не равны.

Если две параллельные прямые пересекают две плоскости, и отрезки между плоскостями не равны, это означает, что плоскости не параллельны между собой. Для того чтобы эти отрезки были не равны, одна из плоскостей должна быть наклонена по отношению к другой. Это наклонение создаёт разницу в длине отрезков, заключенных между прямыми и плоскостями. Таким образом, плоскости пересекаются под углом, и их взаимное расположение таково, что они не параллельны.

5) Прямая a пересекает параллельные плоскости α и β в точках А и В. Прямая b, параллельная прямой a, пересекает плоскости в точках D и С. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 3 см, ВС = 4 см.

Так как прямые a и b параллельны, и они пересекают плоскости α и β в точках А и В, а также в точках D и С соответственно, то можно использовать прямоугольную геометрию для нахождения периметра. Если отрезки $AB$ и $BC$ даны, то периметр четырехугольника ABCD — это сумма длин его сторон:

Поскольку прямые a и b параллельны и пересекают одинаковые плоскости, отрезки, заключенные между этими прямыми и плоскостями, будут одинаковыми. Таким образом, отрезки $DA$ и $CD$ будут равны отрезкам $AB$ и $BC$ соответственно. Поэтому:

Периметр четырехугольника ABCD равен 14 см.

6) Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

Если плоскости α и β параллельны, это означает, что они не пересекаются и находятся на одинаковом расстоянии друг от друга во всех точках. Прямая m лежит в плоскости α, и по определению, если прямая лежит в параллельной плоскости, то она параллельна всем прямым, которые лежат в другой параллельной плоскости.

Параллельность прямой m плоскости β можно доказать следующим образом: если прямая m пересекает плоскость α, и она не пересекает плоскость β, то это доказывает, что прямые, лежащие в плоскости α, будут параллельны плоскости β. Следовательно, прямая m, лежащая в плоскости α, будет параллельна плоскости β.